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Leçon de physique n°34 (agrégation) :
Propriétés et applications du rayonnement dipolaire électrique (MP, PC).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).

Remarques du jury

Éviter les calculs lourds et insister sur les approximations et simplifications, l'aspect énergétique et les applications aux antennes. Expliquer qualitativement pourquoi les champs et les potentiels décroissent en \(1/r\) (alors que \(\vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V\) en statique).

Introduction

On a étudié la propagation des ondes électromagnétiques sans se préoccuper de leur production par des charges en mouvement. Le rayonnement dipolaire électrique interprète le rayonnement à partir de l'oscillation de charges, et explique la diffusion (couleur bleue du ciel) et le fonctionnement des antennes.

Étude du rayonnement du dipôle oscillant

Potentiels

• Dipôle \(\vec{p}(t) = q(t)\vec{a}\), parcouru par le courant \(i = \dot{p}/a\).
• Potentiels retardés (jauge de Lorentz) : \(\vec{A}(M,t) = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\iiint\dfrac{\vec{j}(t - PM/c)}{PM}d\tau\).
• Approximation dipolaire (\(r \gg a\)) et non relativiste (\(a \ll \lambda\), soit \(v \ll c\)) : \(\vec{A}(M,t) = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\dot{\vec{p}}(t - r/c)}{r}\).
• En notation complexe, \(\underline{\vec{A}} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{j\omega}{r}p_0e^{j(\omega t - kr)}\vec{e}_z\), et par la jauge \(\underline{V} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{r^2} + \dfrac{j\omega}{rc}\right)p_0e^{j(\omega t - kr)}\cos\theta\).

Champ électromagnétique

• \(\vec{B} = \overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{A}\), \(\vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V - \partial\vec{A}/\partial t\) : expressions générales en \(1/r^3\), \(1/r^2\) et \(1/r\).
• Régimes : quasi statique (\(r \ll \lambda\)), intermédiaire, zone de rayonnement (\(r \gg \lambda\)) où \(E_\theta = \dfrac{\ddot{p}(t - r/c)\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0rc^2}\), \(B_\varphi = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\ddot{p}(t - r/c)\sin\theta}{rc}\), \(|E_r| \ll |E_\theta|\).

Propriétés et structure de l'onde

1. À grande distance, le champ varie en \(1/r\), contre \(1/r^3\) pour un dipôle électrostatique.
2. \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{e}_r)\) forment un trièdre direct, avec \(\|\vec{E}\|/\|\vec{B}\| = c\).
3. \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont en phase.
4. Le rayonnement est anisotrope.
5. Structure locale d'onde plane transversale.

Aspects énergétiques

• Vecteur de Poynting : \(\langle\vec{R}\rangle = \dfrac{1}{32\pi^2\varepsilon_0c^3}\left(\dfrac{\omega^2p_0\sin\theta}{r}\right)^2\vec{e}_r\).
• Puissance moyenne totale rayonnée (flux à travers une sphère) : \(\langle\mathcal{P}\rangle = \dfrac{\mu_0p_0^2\omega^4}{12\pi c}\), indépendante de \(r\).
• Intensité énergétique \(I(\theta) \propto \sin^2\theta\) : maximale à 90°, nulle dans l'axe (diagramme de rayonnement).
• Résistance de rayonnement : pour \(i = i_0\cos\omega t\), \(\langle\mathcal{P}\rangle = \tfrac{1}{2}\mathcal{R}i_0^2\) avec \(\mathcal{R} = \dfrac{2\pi}{3}\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\left(\dfrac{a}{\lambda}\right)^2 \approx 790\left(\dfrac{a}{\lambda}\right)^2\) Ω ; pour \(a/\lambda = 1/1\,000\), environ \(0{,}79\cdot10^{-3}\) Ω : un tel dipôle rayonne très peu. Application aux antennes demi-onde.

Applications

Diffusion du rayonnement par un électron atomique

• Modèle de l'électron élastiquement lié (rappel \(-m\omega_0^2\vec{r}\), frottement, force électrique) : puissance rayonnée \(\langle\mathcal{P}\rangle = \sigma(\omega)\dfrac{c\varepsilon_0E_m^2}{2}\), section efficace \(\sigma(\omega) = \dfrac{8\pi r_e^2}{3}\,\dfrac{\omega^4}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \omega^2/\tau^2}\), \(r_e \approx 2{,}8\cdot10^{-15}\) m.
• Diffusion Rayleigh (\(\omega \ll \omega_0\)) : \(\sigma \propto 1/\lambda^4\) ; diffusion Thomson aux hautes fréquences. Les électrons de l'atmosphère vibrent vers \(10^{17}\) Hz, la lumière visible est vers \(10^{14}\) Hz : le bleu est plus diffusé que le rouge (ciel bleu, coucher de soleil rouge).
• Manipulation : lumière blanche traversant de l'eau additionnée de poudre de lait : la lumière diffusée est bleutée et polarisée, la lumière transmise orangée.

Rayonnement d'une charge accélérée

• Formule de Larmor : \(\mathcal{P} = \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2a^2}{3c^3}\).
• Conséquences : pertes d'énergie dans les anneaux de stockage des accélérateurs (on augmente le rayon pour réduire l'accélération centripète) ; à l'inverse, production de rayonnement synchrotron (rayons X intenses) par des onduleurs à champ magnétique périodique.
• Invalidité du modèle classique de l'atome : un électron en orbite, accéléré, devrait rayonner et tomber sur le noyau ; la mécanique quantique explique la stabilité des atomes.

Conclusion

Le rayonnement dipolaire traduit l'essentiel du rayonnement émis par les atomes et débouche sur de nombreuses applications, dans des conditions strictes dues aux approximations. Toute particule chargée accélérée rayonne.

Bibliographie

• Pérez, Électromagnétisme
• H-Prépa, Ondes
• Bertin, Faroux, Renault, Électromagnétisme