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Leçon de physique n°38 (agrégation) :
Interféromètres à division d'amplitude. Applications (1er cycle).
Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).
Remarques du jury
Justifier la nature du lieu de localisation et réfléchir à l'intérêt des interféromètres ; une présentation expérimentale du Fabry-Pérot est vivement souhaitée. Avec une source ponctuelle, le Michelson donne des interférences non localisées par division du front d'onde : il est plus intéressant de montrer qu'avec une source large les interférences se localisent et relèvent de la division d'amplitude. Le lien entre étendue de la source et localisation des franges est rarement évoqué. Pour le Fabry-Pérot, l'ordre d'interférence étant élevé, il n'est pas justifié de représenter la fonction d'Airy pour un déphasage entre 0 et 2π. Les notions de cohérence spatiale et temporelle sont centrales ; inutile de s'attarder sur l'étude exhaustive des lames, mieux vaut développer quelques applications.
Introduction
On étudie des dispositifs interférentiels sans problème de cohérence spatiale, qui permettent d'utiliser des sources étendues et donc d'obtenir des interférences lumineuses.
Interféromètre à deux ondes : le Michelson (en lame d'air)
Du schéma de principe à l'appareil réel
- Les rayons réfléchis par \(M_1\) semblent provenir d'une source \(S_1\), symétrique de \(S\) par rapport à \(M_1\) et à la séparatrice ; ceux réfléchis par \(M_2\) d'une source \(S_2\).
- Modélisation : on utilise le miroir \(M_1'\), symétrique de \(M_1\) par rapport à la séparatrice. Miroirs parallèles : lame d'air ; non parallèles : coin d'air.
- La voie 1 traverse trois fois l'épaisseur de la séparatrice et la voie 2 une seule fois : une compensatrice identique rétablit l'égalité. Expérience : schéma réel d'un appareil.
Source large : localisation des franges
Expérience : sans diaphragme, la figure est plus lumineuse mais moins contrastée ; avec une lentille en sortie, les franges sont bien contrastées dans son plan focal image : avec une source large, les franges sont localisées à l'infini. Explication : la différence de marche est la même pour \(S_1\) et \(S_2\) dans une direction donnée ; les points de la source sont incohérents, leurs intensités s'ajoutent : plus de luminosité.
Étude des anneaux
- \(I = 2I_0\left(1 + \cos\dfrac{2\pi\delta}{\lambda}\right)\) avec \(\delta = 2e\cos i\) (plus \(\lambda/2\) dû à la réflexion air-verre, compensé par les réflexions sur la séparatrice et la compensatrice).
- Ordre au centre \(p_0 = \dfrac{2e}{\lambda} = K + \varepsilon\) ; l'ordre diminue quand \(i\) augmente. Rayons des anneaux : \(i_m = \sqrt{\dfrac{\lambda(\varepsilon + m - 1)}{e}}\), \(\rho = f'i_m\), proportionnels à \(\sqrt{\lambda}\) et \(\sqrt{m}\) : anneaux d'égale inclinaison.
- Si \(e\) diminue, les anneaux rentrent ; à \(e = 0\) (contact optique), teinte uniforme.
Application : spectrométrie par transformée de Fourier
Les raies d'une source non monochromatique sont incohérentes : \(I(\delta) = I_0 + \displaystyle\int B(\sigma)\cos(2\pi\delta\sigma)\,d\sigma\), transformée de Fourier de l'intensité spectrale \(B(\sigma)\). Par transformée de Fourier inverse du contraste, on remonte au spectre (écart \(\Delta\lambda\) du doublet du sodium). En pratique : photodiode reliée à un ordinateur en sortie, en chariotant \(M_1\).
Interféromètre à N ondes : le Fabry-Pérot
Description et principe
Source large, lentille collimatrice, deux lames planes semi-réfléchissantes parallèles, lentille et écran : ondes multiples transmises déphasées de \(\varphi = \dfrac{4\pi e\cos i}{\lambda}\).
Intensité transmise
Somme géométrique des amplitudes : \(\dfrac{\underline{a}_t}{\underline{a}_0} = \dfrac{t^2}{1 - r^2e^{-j\varphi}}\), d'où avec \(R = r^2\), \(T = t^2\) : \(\dfrac{I_t}{I_0} = \dfrac{T^2}{(1 - R)^2}\,\dfrac{1}{1 + m\sin^2(\varphi/2)}\), \(m = \dfrac{4R}{(1 - R)^2}\) (premier facteur égal à 1 pour un milieu non absorbant) : fonction d'Airy.
Caractéristiques
- Largeur d'un pic à mi-hauteur : \(\varepsilon = 4/\sqrt{m}\).
- Finesse (écart entre deux pics / largeur) : \(F = \dfrac{2\pi}{\varepsilon} = \dfrac{\pi\sqrt{R}}{1 - R}\).
- Pouvoir de résolution : \(\mathcal{R} = \dfrac{\lambda}{\Delta\lambda_m} = F\,p\), \(p\) ordre d'interférence.
Applications
- Intervalle spectral libre : deux raies \(\lambda\) et \(\lambda'\) restent dans le même ordre si \(\Delta\varphi < 2\pi\), soit \(\Delta\lambda_{ISL} = \dfrac{\lambda^2}{2e}\).
- Expérience : résolution du doublet du sodium (\(\Delta\lambda = 0{,}6\) nm), qui impose \(e < 0{,}29\) mm.
- Filtre interférentiel : ne transmet que les ondes dont le déphasage est multiple de \(2\pi\), \(2en = k\lambda\).
- Cavité des lasers.
Comparaison des deux interféromètres
- Point commun : interférences localisées à l'infini avec une source large, contrairement aux fentes d'Young.
- Michelson : \(F = 2\), \(\mathcal{R} = 2p\). Fabry-Pérot : pics très étroits, \(F \gg 2\), \(\mathcal{R} \gg 2p\) : il résout le doublet du sodium avec une meilleure définition.
Conclusion
Deux exigences antagonistes : des interférences lumineuses et une source fine (largeur spatiale de cohérence). Les interféromètres à division d'amplitude résolvent ce problème et ouvrent de nombreuses applications ; le Michelson a notamment permis de mettre fin à la théorie de l'éther.
Compléments
- Surface de localisation : là où \(\delta\) est constante et le contraste maximal (on observe partout des interférences, mais moins contrastées).
- Pour le Michelson, \(p\) diminue quand \(i\) augmente : le pouvoir de résolution est meilleur au centre de la figure.
- Autres interféromètres : Jamin (mesure d'indices de gaz), Sagnac.
Bibliographie
- H-Prépa, Optique ondulatoire (Michelson)
- de May, Cazabat, Optique, Dunod (Michelson, transformée de Fourier, Fabry-Pérot)
- Pérez, Optique, Masson (Fabry-Pérot)
- Faroux, Renault, Optique, Dunod
- Polycopié de TP de l'agrégation
