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Leçon de physique n°39 (agrégation) :
Diffraction de Fraunhofer. Applications (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 5 pages).

Remarques du jury

Exposer clairement les conditions de Fraunhofer, éviter les calculs trop lourds et valoriser les applications ; le pouvoir séparateur de la lunette astronomique n'est pas le seul exemple. Expliquer le principe de Huygens-Fresnel puis l'appliquer à l'approximation de Fraunhofer dont on discutera les limites. Le passage de la diffraction de Fresnel à celle de Fraunhofer ne doit pas accaparer la moitié de l'exposé ; présenter des applications, trop souvent négligées.

Prérequis

Nature ondulatoire de la lumière, théorie scalaire, interférences. Objectifs : conditions d'application du principe de Huygens-Fresnel, approximation de Fraunhofer, rôle de la diffraction en optique.

Introduction

Expérience : un laser éclairant une fente réglable (ou un cheveu) montre l'éparpillement de la lumière. Le principe de Huygens-Fresnel ramène l'étude de la diffraction à un problème d'interférences.

Le principe de Huygens-Fresnel

• Expérience (cuve à ondes) : une ouverture éclairée par des ondes planes se comporte comme une source secondaire d'ondes sphériques.
• Énoncé : contributions de Huygens (1678) et de Fresnel (1818, approche quantitative). Chaque élément \(dS\) de la surface \(\Sigma\) du diaphragme se comporte comme une source secondaire : \(\underline{A}(M) = C\displaystyle\iint_\Sigma\dfrac{A_0}{PM}e^{-i\varphi_{P\to M}}dS\).
• Conditions : approximation de Gauss, effets de bord négligés (dimensions de \(\Sigma \gg \lambda\)), onde incidente plane. La diffraction existe toujours mais peut être négligeable.

La diffraction de Fraunhofer

Approximation

Les variations de \(1/PM\) sont négligeables devant celles de l'exponentielle (grande distance source-écran) ; en revanche, celles de \(PM\) dans la phase ne le sont pas, car on les compare à \(\lambda\) : \(\underline{A}(M) = CA_0\displaystyle\iint_\Sigma e^{-i\varphi_{P\to M}}dS\).

Diffraction par une fente rectangulaire

• Différence de marche \(\delta = \overrightarrow{OP}\cdot\vec{u}\) : \(d\underline{A}(M) = CA_0\exp\left(-i\dfrac{2\pi}{\lambda}\overrightarrow{OP}\cdot\vec{u}\right)dX\,dY\) ; on intègre sur la pupille en séparant les variables.
• Figure de diffraction \(I = \underline{A}\,\underline{A}^*\) : produit de fonctions \(\operatorname{sinc}^2\) ; l'essentiel de l'intensité est dans la frange centrale, de demi-largeur angulaire \(\lambda/a\). La figure est plus étendue dans la direction où la fente est la plus étroite.
• Fente fine verticale (\(b \gg a\)) : diffraction dans une seule direction.

Pupille circulaire

Cas important, toutes les ouvertures des instruments étant circulaires. Expérience : tache d'Airy, premier anneau sombre pour \(\sin\theta_1 = \dfrac{1{,}22\lambda}{2R}\).

Théorème de Babinet (écrans complémentaires)

Énoncé et démonstration : deux écrans complémentaires donnent la même figure de diffraction en dehors de l'image géométrique. Application : mesure du diamètre d'un cheveu à partir de la figure d'une fente.

Le rôle de la diffraction

Dans la formation des images

• Les aberrations empêchent le stigmatisme rigoureux ; comme on diaphragme pour rester dans les conditions de Gauss, il y a toujours diffraction : elle est la limite ultime de la notion d'image ponctuelle.
• Critère de Rayleigh pour la perfection des systèmes optiques : différences de marche accidentelles inférieures à \(\lambda/4\).

Limite de résolution d'un appareil optique

Critère de Rayleigh : deux étoiles sont distinguées si le maximum de la tache de diffraction de l'une coïncide avec le premier minimum de celle de l'autre.

Conclusion

Si l'on voit les taches de diffraction, l'appareil optique est de bonne qualité.

Compléments

• Le critère de Rayleigh suppose des ondes incohérentes d'intensités voisines ; la résolution tient aussi compte du récepteur (limite de l'œil).
• Montage de Fraunhofer avec deux lentilles : leur position importe peu ; l'image d'un objet ponctuel par une lentille relève de la diffraction de Fraunhofer. En déplaçant la source, la figure se translate mais reste centrée sur l'image géométrique.
• Quelle que soit la géométrie, un pic central concentre l'énergie, et l'élargissement est inversement proportionnel à la dimension du diaphragme.
• Écrans complémentaires (cheveu et fente) : la figure du cheveu est beaucoup plus lumineuse, avec une petite tache superposée à la diffraction.
• Strioscopie (filtrage spatial passe-haut) : une pastille noire au foyer de \(L_2\) arrête la lumière directe ; les détails de l'objet diffractant apparaissent sur l'écran, ses points se comportant comme des sources secondaires.

Bibliographie

• H-Prépa, Optique ondulatoire
• Bertin, Faroux, Renault, Optique
• Pérez, Optique
• Polycopié de TP de l'agrégation