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Leçon de physique n°43 (agrégation) :
Dualité onde-corpuscule : relation de Louis de Broglie. Inégalités d'Heisenberg. Applications (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).

Remarques du jury

L'histoire de la mécanique quantique est intéressante, mais cette mécanique régit de nombreuses applications modernes (laser, atomes froids, semi-conducteurs, horloges de précision, microscope à effet tunnel) dont il faut faire état. La relation de Bragg est souvent citée mais rarement comprise, avec une confusion avec la diffraction par un réseau plan. La notion de paquet d'ondes est nécessaire.

Introduction

Au XIX^e siècle, on classait les phénomènes en deux domaines : la mécanique newtonienne pour le mouvement des corps matériels, l'électromagnétisme de Maxwell pour le rayonnement, les interactions étant décrites par la force de Lorentz. Au début du XX^e siècle, la physique classique montre ses limites pour les grandes vitesses et à l'échelle atomique : naissent la relativité et la mécanique quantique.

Dualité onde-corpuscule

Aspect historique

• Au XVII^e siècle, Newton considère la lumière comme un jet de corpuscules.
• Au XIX^e siècle, les interférences et la diffraction démontrent son caractère ondulatoire et l'optique est intégrée à l'électromagnétisme.
• Le corps noir amène Planck à la quantification de l'énergie ; Einstein décrit la lumière comme un jet de photons d'énergie \(h\nu\) (effet photoélectrique), et l'effet Compton met le photon en évidence.

Expérience des fentes d'Young

• Problème : la théorie ondulatoire explique les franges par l'addition des champs des deux ondes ; en diminuant l'intensité, les franges devraient faiblir mais persister. Si elles résultaient d'une interaction entre photons, elles disparaîtraient à faible intensité.
• Expérience : photons envoyés un par un sur une plaque photographique. Exposée longtemps, elle montre les franges : rejet de l'aspect purement corpusculaire. Exposée très peu, chaque photon donne un impact localisé : rejet de l'aspect purement ondulatoire.
• Explication : les impacts se répartissent aléatoirement ; la figure n'apparaît qu'avec un grand nombre de photons, les franges brillantes correspondant au maximum de densité d'impacts.

Nécessité de la dualité

Raisonnement probabiliste : la probabilité qu'un photon frappe l'écran en \(x\) est proportionnelle à l'intensité \(|E(x)|^2\) calculée par la théorie ondulatoire ; \(E(\vec{r},t)\) est une amplitude de probabilité complexe.

Relations de de Broglie

• En 1923, de Broglie généralise la dualité : tout corpuscule matériel d'énergie \(E\) et d'impulsion \(\vec{p}\) a un aspect ondulatoire : \(E = h\nu\), \(\vec{p} = \hbar\vec{k}\), \(\lambda = \dfrac{h}{|p|}\). On retrouve la quantification de Bohr-Sommerfeld ; l'expérience de Davisson et Germer (1927) obtient des figures d'interférences avec des électrons.
• Ordres de grandeur : grain de poussière (1 µm, \(10^{-15}\) kg, 1 mm/s) : \(\lambda \approx 6{,}6\cdot10^{-16}\) m, négligeable, mécanique classique ; neutron thermique à 300 K : \(\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{3mkT}} \approx 1{,}4\) Å, de l'ordre des distances interatomiques : diffraction possible.

Application à l'étude des structures cristallines

• Les atomes régulièrement disposés diffusent l'onde incidente et les ondes diffusées interfèrent ; pour les rayons X, électrons ou neutrons, interférences constructives pour \(2d\sin\theta = k\lambda\) (loi de Bragg). Il faut \(d \ge \lambda\) ; plus \(\lambda\) est petit, plus on étudie de petites structures.
• Diffraction des électrons : à 50 keV, \(\lambda \approx 5{,}5\cdot10^{-12}\) m ; avec des électrons lents (10 à 1 000 eV), la pénétration est négligeable : étude des surfaces.
• Diffraction des neutrons (réacteurs nucléaires) : ils pénètrent fortement la matière (pas de forces électrostatiques) ; leur diffusion est nucléaire (celle des rayons X électronique) : étude des cristaux et des composés organiques à atomes légers.

Les inégalités d'Heisenberg

Notions de base

• Fonction d'onde \(\psi(\vec{r},t)\), normée, amplitude de probabilité de présence : \(dP = |\psi|^2d^3r\).
• Équation de Schrödinger, pour une particule libre : \(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi = i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial t}\), solution \(Ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r} - \omega t)}\), non normalisable : elle ne peut représenter un système physique.

Nécessité des paquets d'ondes

Par superposition, \(\psi(x,t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int g(k)e^{i(kx - \omega t)}dk\) (par exemple \(g\) gaussienne, d'étalement spectral fini) : à un instant donné, l'extension spatiale du paquet est finie.

Inégalité d'Heisenberg spatiale

\(\Delta x\,\Delta k \ge \tfrac{1}{2}\), d'où \(\Delta x\,\Delta p \ge \dfrac{\hbar}{2}\). Application : rejet du modèle de Bohr ; la notion de trajectoire imposerait \(\Delta x \ll r\) et \(\Delta p \ll p\), soit \(\Delta x\,\Delta p \ll n\hbar\), contradiction.

Inégalité d'Heisenberg temporelle

\(\Delta\omega\,\Delta t \ge \tfrac{1}{2}\), soit \(\Delta E\,\Delta t \ge \dfrac{\hbar}{2}\). Application : le niveau fondamental est stable (\(\Delta t \to \infty\)), son énergie est connue précisément.

Le microscope électronique

Application de la longueur d'onde des électrons, bien plus petite que celle de la lumière, pour améliorer le pouvoir de résolution.

Bibliographie

• Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë, Mécanique quantique
• Cagnac, Pebay-Peyroula, Physique atomique
• J.-P. Eberhart, Analyse structurale et chimique des matériaux
• Pérez, Relativité et quantification