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Leçon de physique n°45 (agrégation) :
Puits de potentiel : exemples et applications en physique quantique (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 12 pages).

Remarques du jury

Les détails des calculs peuvent être omis, mais leur base et la signification physique des conditions aux limites doivent être explicitées ; le jury attend des applications significatives et bien comprises. Les hétérostructures à base de semi-conducteurs offrent des exemples simples de puits de potentiel. Pour éviter des calculs très lourds, on pourra traiter de préférence le puits de potentiel infini.

Prérequis

Dualité onde-corpuscule (effets quantiques si la dimension caractéristique est de l'ordre de \(\lambda\)), équation de Schrödinger, fonctions d'onde, inégalités d'Heisenberg.

Généralités

Modélisation et intérêt du potentiel carré

• Approche classique d'un puits : pour \(E < 0\), la particule oscille dans le puits (stable au minimum) ; pour \(E > 0\), elle est libre. Approche quantique : états liés et états de diffusion. Le puits est la seule forme permettant des états liés, donc la quantification de l'énergie.
• Le potentiel réel est approché par un potentiel carré (\(V = V_0\) pour \(r < r_0\), 0 au-delà), qui correspond à des forces à courte portée ; toute fonction peut être approchée par une fonction constante par morceaux.

États liés et états de diffusion

• États liés : \(V_{min} \le E \le \min(V(-\infty), V(+\infty))\) ; probabilité de présence nulle à l'infini, fonction d'onde normalisable, énergie quantifiée.
• États de diffusion : aucune force ne confine la particule, continuum d'énergie, pas de normalisation.

Recherche des fonctions d'onde

Avec \(\psi(x,t) = \varphi(x)e^{-i\omega t}\), \(E = \hbar\omega\) : équation aux valeurs propres \(\varphi'' + \dfrac{2m}{\hbar^2}(E - V_0)\varphi = 0\), solutions sinusoïdales si \(E > V_0\), exponentielles sinon ; \(\varphi\) et \(\varphi'\) continues aux discontinuités du potentiel, \(\varphi\) de carré sommable.

Puits de potentiel infini

Puits infini à une dimension

• \(V = 0\) pour \(0 < x < a\), infini ailleurs. Classiquement la particule est confinée avec n'importe quelle énergie ; quantiquement, l'énergie est quantifiée.
• \(\varphi = 0\) hors du puits ; dans le puits, \(\varphi = A\cos kx + A'\sin kx\) avec \(k = \sqrt{2mE}/\hbar\). \(\varphi(0) = 0\) et \(\varphi(a) = 0\) imposent \(k = n\pi/a\) ; normalisation : \(\varphi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\dfrac{n\pi x}{a}\), \(E_n = \dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\).
• Remarques : par Heisenberg (\(\Delta x \approx a\)), \(\Delta E \ge \dfrac{\hbar^2}{8a^2m}\) ; analogie avec les modes propres d'une corde fixée à ses deux extrémités (\(a = n\lambda/2\)).
• Validité : H₂ dans un récipient macroscopique (\(m = 3{,}3\cdot10^{-27}\) kg, \(a \approx 1\) cm) : \(E \approx 10^{-17}\) eV, pas de quantification observable ; électron dans un atome (\(a \approx 0{,}1\) nm) : \(E\) de l'ordre de quelques dizaines d'eV.
• Application : liaisons π des polyènes conjugués. Les électrons π sont délocalisés sur la chaîne de longueur \(Nd\) : \(E_n = \dfrac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mN^2d^2}\) ; on remplit les niveaux selon Pauli (éthène, butadiène) ; la densité de probabilité montre la délocalisation.

Généralisation : puits infini à trois dimensions

• Boîte \(a\times b\times c\) : variables séparables, \(\varphi = \sqrt{\dfrac{8}{abc}}\sin\dfrac{n_x\pi x}{a}\sin\dfrac{n_y\pi y}{b}\sin\dfrac{n_z\pi z}{c}\), \(E = \dfrac{\pi^2\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{n_x^2}{a^2} + \dfrac{n_y^2}{b^2} + \dfrac{n_z^2}{c^2}\right)\).
• Dégénérescence : pour \(a = b = c\), des états différents ont la même énergie (\(E_{123} = E_{231}\)...).
• Application : centres colorés des cristaux ioniques (type NaCl, structure CFC, transparents s'ils sont purs). Éclairé, un cristal peut perdre des anions : une lacune piège un électron (centre F) et colore le cristal. Modèle de boîte cubique : \(E_2 - E_1 = \dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{3\pi^2}{a^2}\) ; loi expérimentale de Mollwo-Ivey \(E = Ka^{-n}\) (pour NaCl, \(K = 68\), \(n = 1{,}65\)). Le puits englobe en fait les six proches voisins de la lacune.

Puits carré de profondeur finie (une dimension)

Modélisation

\(V = -V_0\) pour \(|x| < a/2\), 0 ailleurs. Pour \(-V_0 < E < 0\) : classiquement la particule est confinée, quantiquement elle a une probabilité de présence au-delà des bords. Pour \(E > 0\) : classiquement elle est accélérée puis décélérée ; quantiquement, réflexion et transmission sont possibles. Solutions exponentielles hors du puits (\(\rho = \sqrt{-2mE}/\hbar\)), sinusoïdales dedans (\(k = \sqrt{2m(E + V_0)}/\hbar\)).

Parité

Le potentiel est pair : les fonctions propres sont paires ou impaires, ce qui simplifie le système.

Énergie propre, quantification

• Fonctions bornées : paires \(\varphi = A\cos kx\) dans le puits, impaires \(A\sin kx\), raccordées à \(B_1e^{\pm\rho x}\).
• Continuité de \(\varphi\) et \(\varphi'\) en \(a/2\) : \(k\tan\dfrac{ka}{2} = \rho\) (paires), \(k\cot\dfrac{ka}{2} = -\rho\) (impaires) : énergie quantifiée.
• Résolution graphique avec \(k_0^2 = \dfrac{2mV_0}{\hbar^2} = k^2 + \rho^2\) : \(\left|\cos\dfrac{ka}{2}\right| = \dfrac{k}{k_0}\) (paires), \(\left|\sin\dfrac{ka}{2}\right| = \dfrac{k}{k_0}\) (impaires), intersections avec la droite \(k/k_0\).

États de diffusion

Pour \(E > 0\), particule émise de \(-\infty\) et attirée par le puits ; solutions sinusoïdales dans les trois régions, avec \(R + T = 1\) et \(T = \dfrac{1}{1 + \left(\dfrac{q^2}{2kK}\right)^2\sin^2Ka}\) (\(q^2 = 2mV_0/\hbar^2\)). Résonances de transmission (transparence) pour certaines énergies : réflexion et transmission existent en quantique, pas en classique.

Application : le deutéron

État lié entre un proton et un neutron, modélisé par un puits ; seules les fonctions impaires conviennent et une seule valeur de \(k\) est possible, avec \(\sin\dfrac{ka}{2} \to 1\), soit \(\dfrac{ka}{2} \approx \dfrac{\pi}{2}\).

Bibliographie

• Cohen-Tannoudji, Mécanique quantique I
• Lévy-Leblond, Quantique : rudiments
• Basdevant, Physique quantique
• Latour, Leçons d'optique et de mécanique quantique
• Basdevant, Problèmes de mécanique quantique n°2
• Legrand, Heslot, Pratique de la physique et de la chimie quantique, ESPCI n°1