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Leçon de physique n°46 (agrégation) :
Effet tunnel. Applications (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 8 pages).

Prérequis

Équation de Schrödinger, puits de potentiel. L'effet tunnel est un résultat non prévu par la théorie classique.

La barrière de potentiel

Barrière rectangulaire

\(V = V_0\) pour \(0 < x < a\), nul ailleurs (régions I, II, III) ; la source émet des particules depuis \(x = -\infty\).

Prévision classique

Si \(E > V_0\), la particule traverse la barrière, plus lentement pendant le franchissement ; si \(E < V_0\), elle est réfléchie et repart avec la vitesse opposée.

Effet tunnel

Fonctions d'onde dans les différentes régions

• Régions I et III : \(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\psi'' = E\psi\), \(\psi_I = A_1e^{ik_1x} + B_1e^{-ik_1x}\), \(\psi_{III} = A_3e^{ik_1x}\) (\(B_3 = 0\) : pas de source en \(+\infty\)).
• Région II (\(E < V_0\)) : \(\psi_{II} = A_2e^{\alpha x} + B_2e^{-\alpha x}\), \(\alpha = \dfrac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}\) : onde évanescente dans la barrière.

Relations de continuité

Continuité de \(\psi\) et de sa dérivée en \(x = 0\) et \(x = a\) : quatre équations pour cinq inconnues ; on exprime toutes les amplitudes en fonction de l'une d'elles.

Coefficient de transmission

• Défini à partir du courant de probabilité \(\vec{J} = \dfrac{\hbar}{2mi}(\psi^*\vec{\nabla}\psi - \psi\vec{\nabla}\psi^*)\), qui vérifie \(\operatorname{div}\vec{J} + \dfrac{\partial\rho}{\partial t} = 0\) : \(T = \left|\dfrac{A_3}{A_1}\right|^2\).
• Pour \(E < V_0\) : \(T = \dfrac{4E(V_0 - E)}{4E(V_0 - E) + V_0^2\operatorname{sh}^2\left(\dfrac{\sqrt{2m(V_0 - E)}}{\hbar}a\right)}\) : l'effet tunnel est d'autant plus important que la barrière est basse et mince.
• Pour \(E > V_0\) : même expression avec \(\sin^2\) ; la transmission est complète pour certaines valeurs (\(ka = n\pi\)), sinon l'onde est partiellement réfléchie.
• Barrière épaisse (\(\alpha a \gg 1\)) : \(T \approx \dfrac{16E(V_0 - E)}{V_0^2}\exp(-2\alpha a)\).

Analogie avec l'électromagnétisme

Lors de la réflexion totale sur un dioptre (\(n_1 > n_2\)), une onde évanescente existe au-delà de l'angle limite ; en approchant un second dioptre, la réflexion n'est plus totale : réflexion totale frustrée, analogue optique de l'effet tunnel.

Barrière quelconque

Une onde d'énergie \(E\) venant de la gauche est partiellement transmise et partiellement réfléchie. On découpe la barrière en barrières rectangulaires de largeur \(dx\) : \(\ln T = \sum\ln T_n\), d'où \(\ln T = -2\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}\dfrac{\sqrt{2m(V - E)}}{\hbar}dx\).

Applications

Radioactivité α

Une particule α est émise par un noyau avec une énergie inférieure à celle de la barrière (attraction nucléaire puis potentiel coulombien) : pour l'uranium, barrière d'environ 30 MeV pour une α de 4,3 MeV. La durée de vie dépend très fortement de l'énergie : environ \(10^{10}\) ans pour ²³⁸U (4,3 MeV) contre environ \(10^{-14}\) an pour ²¹²Po (8,9 MeV).

Diode tunnel

Jonction PN à dopage fort présentant une conductance différentielle négative. Sous faible polarisation, des électrons de la bande de conduction de N passent par effet tunnel vers des places de même énergie dans P ; le courant croît jusqu'à un maximum puis diminue (courant tunnel) avant le courant normal de diode.

Microscope à effet tunnel

• Il visualise les atomes de surface (prix Nobel 1986, Binnig et Rohrer) : des électrons passent par effet tunnel du nuage électronique à la pointe, distante d'environ 1 nm.
• Le courant varie fortement avec la distance (d'un facteur 10 environ pour 1 Å) ; on travaille à courant constant par un système asservi, une céramique piézoélectrique déplaçant la pointe au cours du balayage.
• Utilisations : biologie (ADN), déplacement d'atomes un par un.

Émission froide

Les électrons d'un métal sont confinés dans un puits de potentiel ; un champ électrique intense incline le potentiel à la surface et permet leur extraction par effet tunnel.

Bibliographie

• Charlier, La mécanique quantique et ses applications
• Hladik, Introduction à la mécanique quantique
• Messiah, Mécanique quantique
• BUP n°699 et n°734