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Leçon de physique n°47 (agrégation) :
Comportement dynamique des systèmes couplés : oscillateurs à deux degrés de liberté en mécanique classique, systèmes à deux niveaux d'énergie en physique quantique. Analogie et différences (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 11 pages).

Remarques du jury

Les leçons privilégient trop souvent la partie classique ; différences et analogies sont rarement mises en lumière. En mécanique classique, inutile d'envisager le cas le plus général : dégager les effets physiques avec un minimum de calculs ; les aspects énergétiques méritent d'être considérés. Réserver du temps à « analogie et différences ». Bien réfléchir au choix du système quantique ; le couplage par effet tunnel est délicat à traiter.

Prérequis

Théorème du moment cinétique, bases de la mécanique quantique (notation de Dirac).

Introduction

On analyse le couplage entre deux états d'un système, comme on le verra en mécanique quantique, à partir de l'oscillation de deux pendules couplés.

Mécanique classique : oscillateurs à deux degrés de liberté

Position du problème

Deux pendules de masse \(M\) et de longueur \(\ell\) (\(J = M\ell^2\)) reliés par un fil de torsion de constante \(C\). Théorème du moment cinétique pour de petites oscillations : \(J\ddot\theta_1 = -M\ell g\theta_1 + C(\theta_2 - \theta_1)\), \(J\ddot\theta_2 = -M\ell g\theta_2 + C(\theta_1 - \theta_2)\).

Couplage entre les oscillateurs

\(\ddot\theta_1 + \dfrac{M\ell g + C}{M\ell^2}\theta_1 = \dfrac{C}{M\ell^2}\theta_2\) : oscillateurs harmoniques (\(\omega_0 = \sqrt{g/\ell}\) si \(C = 0\)), le mouvement de l'un étant forcé par l'autre.

Couplage faible : battements

Expérience : en écartant le pendule 1 seul (\(\theta_1(0) = \theta_{10}\), \(\theta_2(0) = 0\), vitesses nulles), au bout d'un certain temps toute l'énergie moyenne de 1 est transmise à 2, qui oscille pendant que 1 est presque immobile, puis inversement : transfert d'énergie d'un pendule à l'autre.

Résolution exacte

• Avec \(s = \theta_1 + \theta_2\) et \(d = \theta_1 - \theta_2\) : \(\ddot{s} + \omega_1^2s = 0\), \(\ddot{d} + \omega_2^2d = 0\), avec \(\omega_1 = \sqrt{g/\ell} = \omega_0\) et \(\omega_2 = \sqrt{\dfrac{M\ell g + 2C}{M\ell^2}}\) : équations découplées, pulsations propres du système.
• Avec les conditions initiales précédentes : \(\theta_1 = \theta_{10}\cos\dfrac{(\omega_2 - \omega_1)t}{2}\cos\dfrac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2}\), \(\theta_2 = \theta_{10}\sin\dfrac{(\omega_2 - \omega_1)t}{2}\sin\dfrac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2}\).
• Couplage faible (\(C \ll M\ell g\)) : \(\omega_2 \approx \omega_1\left(1 + \dfrac{C}{M\ell g}\right)\) : même amplitude, pulsations voisines, déphasage : battements.
• Expérience : pendules plongeant dans une solution de sulfate de cuivre ; leur mouvement fait varier la résistance du bain et l'on suit les battements à l'oscilloscope.

Modes normaux de vibration

• Si \(d(0) = 0\) et \(\dot{d}(0) = 0\) : \(\theta_1 = \theta_2 = s/2\), mode symétrique, les pendules oscillent ensemble à \(\omega_1\).
• Si \(s(0) = 0\) et \(\dot{s}(0) = 0\) : \(\theta_1 = -\theta_2\), mode antisymétrique à \(\omega_2\). Manipulation des deux modes.

Mécanique quantique : systèmes à deux niveaux d'énergie

Position du problème

• Base orthonormée \(|\varphi_1\rangle\), \(|\varphi_2\rangle\), états propres de \(H_0\) (énergies \(E_1\), \(E_2\)). Avec une perturbation indépendante du temps, \(H = H_0 + W\), \(W = \begin{pmatrix}W_{11} & W_{12}\\ W_{21} & W_{22}\end{pmatrix}\) hermitique (\(W_{12} = W_{21}^*\)) ; seuls les termes non diagonaux participent au couplage, on prend \(W_{11} = W_{22} = 0\).
• Conséquences : \(E_1\) et \(E_2\) ne sont plus les énergies possibles ; \(|\varphi_1\rangle\) et \(|\varphi_2\rangle\) ne sont plus stationnaires : transitions entre les deux états.

Effet du couplage sur les états stationnaires

• Diagonalisation : \(E_\pm = E_m \pm \sqrt{\Delta^2 + |W_{12}|^2}\), avec \(E_m = \dfrac{E_1 + E_2}{2}\) et \(\Delta = \dfrac{E_1 - E_2}{2}\).
• Diagramme d'anticroisement : les niveaux se repoussent, \(E_+ - E_- > |E_1 - E_2|\) : le couplage écarte les fréquences propres. Si \(|\Delta| \gg |W_{12}|\), effet au second ordre ; si \(E_1 = E_2\), \(E_\pm = E_m \pm |W_{12}|\) : l'effet est bien plus important quand les énergies sont égales au départ.
• Application : ion H₂⁺ (deux protons fixes, un électron) ; \(|\varphi_1\rangle\) et \(|\varphi_2\rangle\), électron près de l'un ou de l'autre proton, ne sont pas stationnaires car \(\langle\varphi_1|H|\varphi_2\rangle \neq 0\). La fonction d'onde est une combinaison linéaire : la délocalisation abaisse l'énergie et crée la liaison.

Oscillation entre les deux états non perturbés

• \(|\psi(t)\rangle = a_1(t)|\varphi_1\rangle + a_2(t)|\varphi_2\rangle\), \(i\hbar\dfrac{d|\psi\rangle}{dt} = (H_0 + W)|\psi\rangle\) : système d'équations couplées, résolu dans la base des états propres \(|\psi_\pm\rangle\), d'où \(|\psi(t)\rangle = \lambda e^{-iE_+t/\hbar}|\psi_+\rangle + \mu e^{-iE_-t/\hbar}|\psi_-\rangle\).
• Partant de \(|\varphi_1\rangle\), la probabilité \(P_{12}(t)\) de trouver le système dans \(|\varphi_2\rangle\) oscille à la fréquence \(\dfrac{E_+ - E_-}{h}\) entre 0 et \(\sin^2\theta\).
• Si \(E_1 = E_2\) : \(\sin^2\theta = 1\), passage complet de \(|\varphi_1\rangle\) à \(|\varphi_2\rangle\) à une fréquence proportionnelle au couplage. Si \(|E_1 - E_2| \gg |W_{12}|\), le système reste pratiquement dans \(|\varphi_1\rangle\).

Différences et analogies

• Différences : système macroscopique contre microscopique ; couplage entre degrés de liberté (pulsations) contre couplage entre états (énergies) ; battements contre résonance quantique.
• Analogies : l'écart de pulsation ou d'énergie est d'autant plus grand que le couplage est fort ; oscillation à une fréquence proportionnelle au couplage ; les modes propres du système couplé diffèrent de ceux des systèmes isolés ; l'état général est une combinaison linéaire des modes propres.

Conclusion

L'analyse d'un système simple éclaire des systèmes plus complexes.

Remarques

• Préférer des pendules à des ressorts ; considérer l'aspect énergétique en classique (transfert d'énergie d'un oscillateur à l'autre).
• Discuter la dépendance de \(P_{12}\) et montrer un graphe \(P_{12} = f(E)\).
• Battements : deux fréquences voisines, comme en acoustique ; autre système à deux états : spin 1/2 (alcalin) dans un champ magnétique.

Bibliographie

• H-Prépa, Ondes, 2^e année (exercice 7)
• A. Mouchet, Apprendre la mécanique, Dunod
• Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë, Mécanique quantique I
• Basdevant, Dalibard, Physique quantique, Ellipses