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Leçon de physique n°50 (agrégation) :
Chaîne linéaire infinie d'oscillateurs harmoniques : modes propres. Approximation des milieux continus. Aspects énergétiques (PC ou 1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).

Introduction

Cette chaîne d'oscillateurs permet d'aborder très généralement la propagation, à la base de la transmission d'informations ; l'approximation des milieux continus modélise par exemple la propagation du son dans un solide.

Chaîne linéaire infinie d'oscillateurs harmoniques

Description du modèle

Masses \(m\) au repos en \(x = na\), reliées par des ressorts de raideur \(\alpha\), déplacements \(u_n\). Déplacer la masse \(n\) déplace \(n - 1\) et \(n + 1\) : la déformation se propage le long de la chaîne d'oscillateurs couplés.

Équation du mouvement

PFD : \(m\ddot{u}_n = \alpha(u_{n+1} - u_n) + \alpha(u_{n-1} - u_n)\), soit \(\ddot{u}_n + \omega_0^2(2u_n - u_{n-1} - u_{n+1}) = 0\) avec \(\omega_0^2 = \alpha/m\).

Solutions harmoniques

• Modes propres : tous les éléments oscillent à une pulsation propre du système ; excité dans un mode propre, il y reste ; le mouvement général est une combinaison linéaire des modes propres.
• Ondes progressives : \(\underline{u}_n = a_0e^{j(\omega t - n\varphi)}\) ; avec \(k = \varphi/a\) et \(x_n = na\), \(\underline{u}_n = a_0e^{j(\omega t - kx_n)}\), propagation vers les \(x\) croissants ou décroissants selon le signe de \(k\).

Relation de dispersion

\(\omega^2 = 2\omega_0^2(1 - \cos ka) = 4\omega_0^2\sin^2\dfrac{ka}{2}\), soit \(\omega = 2\omega_0\left|\sin\dfrac{ka}{2}\right|\) : une infinité de modes propres avec \(0 \le \omega \le 2\omega_0\). \(\omega(k)\) est périodique de période \(2\pi/a\) : on se limite à la première zone de Brillouin \(-\pi/a \le k \le \pi/a\) ; \(\omega\) ne dépend pas linéairement de \(k\).

Vitesses de phase et de groupe

\(v_\varphi = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{2\omega_0}{k}\left|\sin\dfrac{ka}{2}\right|\) et \(v_g = \dfrac{d\omega}{dk} = \omega_0a\left|\cos\dfrac{ka}{2}\right|\). Pour \(|ka| \ll 1\) (\(\lambda \gg a\)), \(v_g = v_\varphi = \omega_0a\) ; en bord de zone (\(k = \pm\pi/a\)), \(v_g = 0\) : plus de propagation.

Onde évanescente (\(\omega \ge 2\omega_0\))

\(k\) devient complexe, \(k = \pm\dfrac{\pi}{a} + ik''\) avec \(\omega = 2\omega_0\operatorname{ch}\dfrac{k''a}{2}\) : \(u_n = A(-1)^ne^{-nk''a}\cos\omega t\), onde qui ne se propage pas mais décroît exponentiellement.

Milieux continus

Approximation des milieux continus

Valable si la dimension caractéristique \(a\) est petite devant la longueur d'onde : l'onde ne voit pas les détails du milieu mais son comportement moyen ; très valable pour les solides.

Équation de d'Alembert

En développant \(u_{n\pm1} = u(x \pm a, t)\) à l'ordre 2 : \(\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} - \dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} = 0\) avec \(v = \omega_0a\) : onde dans un milieu non dispersif.

Célérité dans différents milieux

• Expression générale : \(v = \sqrt{K/\mu}\), avec \(\mu = m/a\) masse linéique et \(K = \alpha a\) constante d'élasticité moyenne.
• Tige métallique : loi de Hooke \(F = ES\dfrac{\Delta\ell}{\ell_0}\) (\(E\) module d'Young), \(v = \sqrt{E/\rho}\) : environ 5 100 m/s pour l'aluminium (\(E = 7\cdot10^{10}\) N/m², \(\rho = 2{,}7\cdot10^3\) kg/m³), 3 000 m/s pour un acier de même \(E\) et \(\rho = 7{,}7\cdot10^3\) kg/m³.
• Fluide : compressibilité \(\chi = -\dfrac{1}{V}\dfrac{\Delta V}{\Delta P}\) ; pour les ondes sonores (20 Hz à 20 kHz), transformation adiabatique : \(v = \dfrac{1}{\sqrt{\rho\chi_S}} = \sqrt{\dfrac{\gamma RT}{M}}\), environ 343 m/s dans l'air à 298 K.
• Vérification de l'approximation : \(\lambda\) de 17,1 m (20 Hz) à 17,1 mm (20 kHz) ; 1 mm³ d'air contient environ \(10^{16}\) molécules, de distance bien inférieure à \(\lambda\).

Aspect énergétique

Puissance transmise \(\mathcal{P} = -F\dfrac{\partial u}{\partial t}\) avec \(F = ES\dfrac{\partial u}{\partial x}\) ; bilan local : \(\dfrac{\mathcal{P}}{S} = \dfrac{\partial}{\partial t}\left[\tfrac{1}{2}\rho\left(\dfrac{\partial u}{\partial t}\right)^2 + \tfrac{1}{2}E\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)^2\right]\) (densités d'énergie cinétique et élastique). Pour une onde progressive sinusoïdale, \(\langle E_c\rangle = \langle E_p\rangle\).

Conclusion

L'approximation des milieux continus décrit simplement la propagation dans divers milieux et montre que la propagation repose sur le couplage des forces et des déplacements, qui se créent l'un l'autre.

Compléments

• Théorie simpliste : un atome interagit non seulement avec ses voisins immédiats mais aussi avec des atomes plus éloignés.
• On s'est limité aux ondes longitudinales ; il existe aussi des ondes transversales (corde de Melde).
• Chaîne diatomique (masses \(m_1\) et \(m_2\) alternées) : \(\omega_\pm^2 = \dfrac{\alpha}{\mu} \pm \sqrt{\dfrac{\alpha^2}{\mu^2} - \dfrac{4\alpha^2}{m_1m_2}\sin^2ka}\) ; branche acoustique (atomes vibrant ensemble) et branche optique (atomes vibrant en opposition), séparées par une bande interdite entre \(\sqrt{2\alpha/m_1}\) et \(\sqrt{2\alpha/m_2}\).

Bibliographie

• Bertin, Faroux, Renault, Mécanique des fluides et ondes mécaniques
• H-Prépa, Ondes
• Garing, Ondes mécaniques (chaîne diatomique)