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Leçon de physique n°51 (agrégation) :
Paramagnétisme. Approche du ferromagnétisme dans l'approximation du champ moyen. Température critique (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 13 pages).

Introduction

Le magnétisme est connu d'abord par les aimants, puis par les interactions entre courants ; Ampère introduit les courants moléculaires. On cherche une interprétation microscopique : l'atome est un dipôle magnétique, et un atome à couche non remplie a un spin non nul.

Aimantation de la matière

Aimantation et susceptibilité

• Expériences : un morceau de fer est faiblement attiré par un aimant (paramagnétisme) ; le fer peut garder une aimantation en l'absence de champ (ferromagnétisme).
• Aimantation : \(\vec{M} = \dfrac{\sum\vec{\mu}_i}{V} = \dfrac{d\vec{\mu}}{d\tau}\), moment dipolaire par unité de volume ; susceptibilité \(\vec{M} = \chi_m\vec{B}/\mu_0\).
• Diamagnétiques : \(\chi_m < 0\), \(|\chi_m| \approx 10^{-5}\) (effet d'induction, présent dans tous les matériaux mais masqué) ; paramagnétiques : \(\chi_m > 0\), environ \(10^{-3}\) ; ferromagnétiques : \(10^2\) à \(10^5\).

Origine microscopique

• Modèle classique de Bohr : électron sur une orbite circulaire, courant \(I = -\dfrac{e\omega}{2\pi}\), moment \(\vec{\mu} = \gamma\vec{L}\) avec \(\gamma = -\dfrac{e}{2m}\) (rapport gyromagnétique).
• Moment magnétique de spin (vapeur de sodium, électron de spin 1/2) : énergie \(E = -\vec{\mu}\cdot\vec{B} = \pm\mu_BB\) (deux états), magnéton de Bohr \(\mu_B = \dfrac{e\hbar}{2m}\), en fait \(E = \dfrac{e\hbar}{2m}gB\) avec le facteur de Landé \(g \approx 2\).

Étude du paramagnétisme : gaz parfait de spins

Modèle

Atomes de moment \(\vec{\mu} = -g\dfrac{e}{2m}\vec{S}\), spin 1/2, dans un champ uniforme, au contact d'un thermostat, sans interaction entre atomes : \(M = (N_\uparrow - N_\downarrow)\mu_B\) par unité de volume.

Calcul statistique de l'aimantation

Avec \(x = \dfrac{\mu_BB}{kT}\) : \(N_\uparrow = \dfrac{Ne^x}{e^x + e^{-x}}\), \(N_\downarrow = \dfrac{Ne^{-x}}{e^x + e^{-x}}\), d'où \(M = N\mu_B\operatorname{th}x\). Si \(T\) augmente ou \(B\) diminue, l'agitation thermique désordonne les moments ; si \(T\) diminue ou \(B\) augmente, \(M\) tend vers \(M_{sat} = N\mu_B\), tous les moments orientés selon \(\vec{B}\).

Loi de Curie

\(\mu_B \approx 10^{-23}\) A·m² : pour \(B \approx 1\) T, \(x \ll 1\) dès que \(T \gg 1\) K ; alors \(\operatorname{th}x \approx x\) (milieu linéaire), \(M = \dfrac{N\mu_B^2B}{kT}\) et \(\chi_m = \dfrac{N\mu_B^2\mu_0}{kT} = \dfrac{C}{T}\). Plus le matériau est dense, plus \(\chi_m\) est grand ; pour un solide (\(N \approx 10^{29}\) m^-3), \(C \approx 1\) K, en accord avec l'expérience.

Application : désaimantation adiabatique

Elle sert à refroidir les substances : un sel paramagnétique isolé, placé dans un champ qui aligne les dipôles, puise l'énergie nécessaire dans l'agitation thermique lorsque le champ est supprimé, et sa température diminue.

Théorie du ferromagnétisme

Présentation

Expérience : un clou suspendu attiré par un aimant se décroche au-delà d'une certaine température (oscillateur de la transition ferro-para). Un matériau ferromagnétique peut rester aimanté après application d'un champ.

Origine quantique

• L'interaction dipolaire magnétique entre deux moments (\(E \approx \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\mu^2}{r^3}\), environ \(10^{-4}\) eV à 2 Å) est trop faible : il faudrait l'ordre de \(kT\), alors que la température critique est bien supérieure à 1 K.
• Interaction d'échange : la fonction d'onde de deux électrons est antisymétrique ; avec des spins parallèles, la partie spatiale est antisymétrique et s'annule quand les électrons se rapprochent : l'énergie coulombienne est plus faible pour des spins parallèles, d'où une interaction \(U_{12} = -J_{12}\vec{S}_1\cdot\vec{S}_2\). Énergie du système : \(U = -\sum\vec{\mu}_i\cdot\vec{B} - \sum J_{ij}\vec{\mu}_i\cdot\vec{\mu}_j\), abaissée si les moments sont de même sens.

Modèle de Weiss : approximation du champ moyen

• Interactions moyennes indépendantes de la particule choisie : Pierre Weiss (1907) introduit le champ moléculaire \(\vec{B}_W = \mu_0\alpha\vec{M}\), qui n'est pas un vrai champ magnétique ; on remplace \(\vec{B}_0\) par \(\vec{B}_0 + \vec{B}_W\).
• À champ nul : \(\dfrac{M}{M_{sat}} = \operatorname{th}\left(\dfrac{\mu_0\mu_B\alpha M}{kT}\right)\) ; résolution graphique entre la droite \(M = \dfrac{kT}{\mu_0\mu_B\alpha}x\) et \(M = N\mu_B\operatorname{th}x\) : une solution non nulle existe si la pente de la droite est inférieure à \(N\mu_B\), soit \(T < T_c = \dfrac{N\mu_0\mu_B^2\alpha}{k}\) (température de Curie).
• Ordre de grandeur : \(B_W = \dfrac{kT_c}{\mu_B} \approx 3{,}5\cdot10^2\) T, très grand : artifice de calcul.

Susceptibilité en phase paramagnétique : loi de Curie-Weiss

Pour \(T > T_c\) et \(x \ll 1\) : \(M\left(1 - \dfrac{T_c}{T}\right) = \dfrac{C}{T}\dfrac{B_0}{\mu_0}\), d'où \(\chi = \dfrac{C}{T - T_c}\).

Transition du second ordre

Juste sous \(T_c\), le développement de \(\operatorname{th}x\) donne \(\dfrac{M}{M_0} = \sqrt{3}\,\dfrac{T}{T_c}\sqrt{1 - \dfrac{T}{T_c}}\) : l'aimantation spontanée s'annule continûment en \(T_c\).

Conclusion

Ce modèle simple rend bien compte des observations ; le champ moyen élimine toute perturbation, d'où ses limites pour décrire les transitions. Pour \(T > T_c\), le matériau est paramagnétique ; pour \(T < T_c\), ferromagnétique et aimanté. Le changement n'est pas aussi brutal sous champ appliqué.

Remarques

• Le fer contient de nombreux domaines aimantés (domaines de Weiss, à introduire dès le début), mais son aimantation macroscopique moyenne est nulle sans champ ; le ferromagnétisme est une propriété cristalline, alors que le fer est un assemblage de petits cristaux.
• Expérience : FeCl₃ dans l'entrefer d'un électroaimant monte dans le sens du gradient du champ (substance paramagnétique).
• Tous les matériaux sont diamagnétiques, mais cet effet est masqué par le para- ou le ferromagnétisme.

Bibliographie

• H-Prépa, Thermodynamique PC, 2^e année
• Pérez, Électromagnétisme
• Faroux, Renault, Thermodynamique
• Feynman, Électromagnétisme 2
• Kittel, Physique de l'état solide
• Diu, Physique statistique
• Ngô, Physique statistique