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Leçon de physique n°53 (agrégation) :
Mécanismes de la conduction électrique. Loi d'Ohm. Effet Hall. Applications (PCSI, 1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 7 pages).

Remarques du jury

Il paraît indispensable de mentionner la supraconductivité. Si l'on utilise le modèle de Drude, préciser ses limites ; une approche probabiliste peut être envisagée et la théorie quantique de la conduction évoquée.

Introduction

Lorsque des porteurs de charge sont libres de se déplacer, il existe différents courants : de convection (déplacement global de la matière), de diffusion (gradient de concentration) et de conduction (gradient de potentiel électrique), étudié ici. Il existe dans les solides, liquides ou gaz ; seule change la nature des porteurs (électrons, ions ou les deux). L'interaction des porteurs mobiles avec le milieu est à l'origine de la loi d'Ohm.

Le modèle de Drude

Approximation de l'électron libre

Hypothèses : pas d'interaction électrostatique entre électrons, pas de puits de potentiel dus aux ions, électrons obéissant à la statistique de Maxwell-Boltzmann ; on s'appuie sur la théorie cinétique des gaz pour introduire un temps de relaxation.

Temps de relaxation

• Sans champ, mouvement désordonné : \(\langle\vec{v}\rangle = \vec{0}\), pas de courant. Avec \(\vec{E}\), le PFD \(m\dfrac{d\vec{v}}{dt} = -e\vec{E}\) donnerait une vitesse croissant indéfiniment : impossible.
• Les collisions limitent la vitesse : temps moyen \(\tau\) entre deux collisions ; vitesse de dérive \(\vec{v} = \langle\vec{v}_e\rangle = -\dfrac{e\vec{E}}{m}\tau\).

Loi d'Ohm

• \(\vec{j} = -ne\vec{v} = \dfrac{ne^2\tau}{m}\vec{E}\) : le courant est proportionnel à sa cause ; conductivité \(\gamma = \dfrac{ne^2\tau}{m}\) en S/m. Pour plusieurs porteurs, \(\gamma = \sum\gamma_i\).
• Classement : conducteurs \(\gamma > 10^4\), semi-conducteurs \(10^{-6} < \gamma < 10^4\), isolants \(\gamma < 10^{-6}\) S/m ; \(\gamma\) dépend de la température et de la pureté du matériau.
• Pour le cuivre (\(\gamma = 5{,}8\cdot10^7\) S/m, \(n \approx 8{,}3\cdot10^{28}\) m^-3) : \(\tau = \dfrac{\gamma m}{ne^2} \approx 10^{-14}\) s.

Échec du modèle de Drude

• Avec un libre parcours d'environ \(10^{-10}\) m et \(\tfrac{1}{2}m\langle v\rangle^2 = \tfrac{3}{2}kT\) (\(\langle v\rangle \approx 1{,}2\cdot10^5\) m/s), on retrouve \(\tau \approx 10^{-15}\) s : l'accord n'est qu'une coïncidence.
• Le modèle n'explique pas la variation de \(\gamma\) avec la pureté ; avec des fils de cuivre de différents diamètres, on mesure \(\lambda \approx 450\) Å et \(\langle v\rangle \approx 2\cdot10^6\) m/s, soit une énergie de 11,4 eV au lieu de \(kT = 0{,}025\) eV ; il prévoit \(\tau \propto 1/\sqrt{T}\) alors qu'expérimentalement \(\tau \propto 1/T\). Il faut la mécanique quantique.

Théorie de Sommerfeld

Les électrons obéissent à la statistique de Fermi-Dirac (principe d'exclusion de Pauli, états quantifiés) ; ce sont des ondes qui se propagent sans déformation dans un cristal parfait ; les défauts et l'agitation thermique altèrent leur mouvement.

La théorie des bandes

Présentation

Dans un solide, l'interaction avec les ions rassemble les niveaux d'énergie en bandes quasi continues, séparées par des bandes interdites (gap).

Différents comportements

• À basse température, seuls les niveaux inférieurs au niveau de Fermi \(E_F\) sont occupés ; la position de \(E_F\) distingue les matériaux.
• Isolants : bande de valence pleine, gap grand devant \(kT\) (environ 10 eV).
• Conducteurs : \(E_F\) dans une bande partiellement remplie ; l'énergie fournie par \(\vec{E}\) suffit, même à 0 K.
• Semi-conducteurs : gap faible (0,67 eV pour Ge, 1,14 eV pour Si) ; à \(T \neq 0\), des électrons passent dans la bande de conduction et créent des paires électron-trou. L'énergie peut aussi être fournie par un rayonnement \(h\nu > E_{gap}\) : photoconductivité.

Paramètres influençant la conductivité

• Température : dans un métal, le nombre d'électrons de conduction est indépendant de \(T\) mais leur mobilité diminue quand \(T\) ou le nombre de défauts augmente (\(R\) croît) ; dans un semi-conducteur, le nombre de porteurs croît exponentiellement avec \(T\) (\(R\) décroît).
• Manipulation : lampes à filament de tungstène (environ 61 Ω à froid, 430 Ω à chaud) et de carbone (1 460 Ω à froid, 1 088 Ω à chaud). Applications : thermomètre à résistance de platine, thermistance.
• Impuretés : dans un métal, elles diminuent la mobilité ; dans un semi-conducteur, le dopage augmente la conductivité : dopage n (phosphore pentavalent, électron libre, niveau donneur), dopage p (bore, trou, niveau accepteur). Une substitution par million suffit pour que les porteurs créés deviennent majoritaires à température ambiante.

Supraconductivité

Découverte en 1911 sur le mercure : sous une température critique, certains matériaux ont une conductivité infinie ; un courant persiste sans amortissement. Pour \(T < T_c\), ils sont diamagnétiques parfaits (\(\vec{B}_{int} = \vec{0}\)), ce qui est incompatible avec une conductivité finie.

L'effet Hall

Présentation

Dans une plaquette parcourue par \(\vec{j}\) et soumise à \(\vec{B}\), les porteurs subissent \(q\vec{v}\wedge\vec{B}\) : excès de charges d'un côté, défaut de l'autre, d'où un champ de Hall. En régime permanent \(q\vec{v}\wedge\vec{B} + q\vec{E}_H = \vec{0}\), soit \(\vec{E}_H = R_H\vec{B}\wedge\vec{j}\) avec \(R_H = \dfrac{1}{nq}\).

Tension de Hall

\(U_H = -\dfrac{R_HIB}{a}\) : elle dépend du type et de la concentration des porteurs, plus faible dans les métaux que dans les semi-conducteurs. Pour \(n = 10^{29}\) m^-3, \(I = 1\) A, \(B = 1\) T : \(6\cdot10^{-8}\) V si \(a = 1\) mm, environ 1 µV si \(a = 0{,}1\) mm ; pour un semi-conducteur (\(n\) environ \(10^5\) fois plus faible), environ 0,1 V. Le signe de \(U_H\) donne celui de \(R_H\), donc la nature des porteurs.

Applications

Détermination du type de porteurs et de leur concentration ; mesure de champ magnétique avec une sonde à effet Hall en semi-conducteur, qui mesure la composante de \(\vec{B}\) perpendiculaire à la sonde (manipulation).

Conclusion

L'interprétation de la conductivité est complexe : il existe plusieurs modèles, qui font appel à la physique statistique et à la mécanique quantique ; le modèle classique suffit rarement, et de nombreux paramètres influent sur \(\gamma\).

Bibliographie

• BUP n°550, décembre 1972
• Quéré, Physique des matériaux
• Pérez, Électromagnétisme
• H-Prépa, Électromagnétisme 2
• Alonso, Finn, Physique générale 2 (valeurs de conductivité)