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Leçon de physique n°55 (agrégation) :
Exemples d'effets de non-linéarité sur le comportement d'un oscillateur (MPSI ou 1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 8 pages).

Introduction

La non-linéarité est une idée essentielle pour les oscillateurs, aux nombreuses applications : elle engendre des harmoniques, fixe l'amplitude et stabilise les oscillateurs. Le plan de phase en donne une vision claire.

Exemples de non-linéarité

• Définition : l'équation \(m\ddot{x} + f\dot{x} + kx = 0\) est non linéaire si \(m\), \(f\) ou \(k\) dépendent de \(x\).
• Forces de rappel non linéaires : au-delà de la loi de Hooke \(F = -kx\), \(F = -kx - k'x^2 - k''x^3\) (jusqu'au point de rupture).
• Pendule pesant : \(J\ddot\alpha + mga\sin\alpha = 0\), soit \(\ddot\alpha + \dfrac{g}{a}\left(\alpha - \dfrac{\alpha^3}{3!} + \dfrac{\alpha^5}{5!}\right) = 0\).
• Force de frottement : solide ou fluide, elle s'écrit \(f\dot{x}\), toujours opposée à la vitesse.
• En électricité : résistances non linéaires (diode, lampe à filament de tungstène, thermistance dont la résistance diminue quand la température augmente).

Oscillations libres d'un oscillateur anharmonique

Coefficient de rappel fonction linéaire de \(x\)

• Avec \(k = k_0 + k_1x\) : \(m\ddot{x} + k_0x = -k_1x^2\), résolue par la méthode des perturbations \(x = x_1 + x_2 + \dots\), avec \(x_1 = x_m\cos\omega_0t\), \(\omega_0 = \sqrt{k_0/m}\).
• À l'ordre suivant : \(m\ddot{x}_2 + k_0x_2 = -\dfrac{k_1x_m^2}{2}(1 + \cos2\omega_0t)\), d'où \(x = x_m\cos\omega_0t - \dfrac{k_1x_m^2}{2k_0} + \dfrac{k_1x_m^2}{6k_0}\cos2\omega_0t\) : décalage de la position moyenne et apparition de l'harmonique \(2\omega_0\). La période dépend aussi de l'amplitude de départ.
• Application : conversion de fréquence en optique.

Application : dilatation thermique des solides

• Énergie de cohésion d'un cristal ionique (NaCl) : \(u = \dfrac{\alpha}{r^n} - \dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0r}\) (répulsion d'origine quantique, attraction électrostatique) ; le puits de potentiel n'est pas symétrique.
• Autour de l'équilibre \(r_0\), avec \(r = r_0 + x\) : \(u = u_0 + \tfrac{1}{2}k_0x^2 + \tfrac{1}{3}k_1x^3\) avec \(k_1 < 0\).
• Valeur moyenne (\(\langle\tfrac{1}{2}k_0x^2\rangle = \tfrac{1}{2}k_BT\), \(\langle F\rangle = 0\)) : \(\langle x\rangle = -\dfrac{k_1}{k_0^2}k_BT\) : la distance moyenne augmente avec la température. Coefficient de dilatation calculé environ \(1{,}4\cdot10^{-5}\) contre \(4\cdot10^{-5}\) mesuré : bon ordre de grandeur.

Oscillations entretenues d'un oscillateur anharmonique

Oscillateur à résistance négative

• Montage à amplificateur opérationnel : en régime linéaire (\(|u_s| < V_{sat}\)), \(v = -R^-i\) ; au-delà, \(v = R_0i \pm V_{sat}\).
• Associé à un circuit RLC : la puissance reçue \(\mathcal{P} = -R^-i^2 < 0\) : dipôle actif. \(\dfrac{dE_{em}}{dt} = (R^- - r)i^2\) : oscillations si \(R^- > r\).
• Loi des mailles : \(L\ddot{i} + (r - R^-)\dot{i} + \dfrac{i}{C} = 0\) ; avec \(\alpha = \dfrac{r - R^-}{2L} < 0\), \(i = Ae^{-\alpha t}\cos(\omega t + \varphi)\) croît. Quand \(i > i_{lim}\), l'amortissement devient positif (\(\beta = \dfrac{R_0 + r}{2L}\)) et \(i\) diminue : l'amplitude se stabilise. Dans le plan de phase, les trajectoires convergent vers un cycle limite.

Oscillateur de Van der Pol

• \(m\ddot{x} + h(x)\dot{x} + kx = 0\) avec \(h(x) = \lambda(x^2 - x_0^2)\), négatif pour \(|x| < x_0\), positif au-delà ; \(\dfrac{dE_m}{dt} = -h(x)\dot{x}^2\).
• Pour des oscillations quasi sinusoïdales \(x = x_m\cos\omega t\), le bilan d'énergie sur une période impose \(x_m = 2x_0\).
• Quelles que soient les conditions initiales, le système tend vers un cycle limite (attracteur), circulaire et à oscillations sinusoïdales si \(\lambda\) est faible, déformé (oscillations de relaxation) si \(\lambda\) est élevé.

Les oscillateurs paramétriques

Définition

Oscillateurs dont l'un des paramètres varie de façon périodique : longueur d'un pendule, constante de torsion, capacité d'un circuit.

Résonance paramétrique en mécanique : le botafumeiro

• Encensoir de Saint-Jacques-de-Compostelle, de longueur \(\ell(t) = \ell_0(1 + \varepsilon\cos\omega t)\), \(\varepsilon \ll 1\). Théorème du moment cinétique : \(\ddot\theta + \dfrac{g}{\ell}\sin\theta = -2\dfrac{\dot\ell}{\ell}\dot\theta\), d'où \(\ddot\theta + \omega_0^2\theta = \varepsilon(\omega_0^2\cos\omega t + 2\omega\sin\omega t\,\dot\theta)\).
• Énergie mécanique : en moyenne, \(\left\langle\dfrac{dE_m}{dt}\right\rangle = 0\) si \(\omega \neq 2\omega_0\) ; si \(\omega = 2\omega_0\), \(E_m(t) = E_m(0)\exp\left(\tfrac{3}{2}\omega_0\varepsilon\sin2\varphi\,t\right)\).
• Pour que l'énergie augmente : \(\omega = 2\omega_0\), \(E_m(0) \neq 0\) et \(\varphi \in\, ]0, \pi/2[\) : c'est la résonance paramétrique.

Conclusion

Plusieurs systèmes, électriques ou mécaniques, répondent à ce critère de non-linéarité. Dans nos exemples, elle stabilise le système, mais il existe aussi des systèmes qui peuvent devenir chaotiques. Le plan de phase permet une visualisation rapide des caractéristiques du mouvement.

Bibliographie

• Faroux, Renault, Toute la mécanique
• Pérez, Mécanique
• H-Prépa, Mécanique I
• Garing, Milieux diélectriques
• Polycopié de TP de l'agrégation