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Leçon de physique n°7 (agrégation) :
Principe de la cinématique relativiste. Durée propre, longueur propre (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 9 pages).

Remarques du jury

Consacrer une partie de l'exposé aux fondements de la cinématique relativiste avec un vocabulaire rigoureux ; un voyage interplanétaire à 0,97 c ne constitue pas une illustration concrète de la dilatation des durées. Rechercher des applications ou observations expérimentales réelles. Énoncer nettement les définitions de longueur propre et de durée propre, préciser la notion d'événement et l'utiliser avec méthode pour aborder la dilatation des durées et la contraction des longueurs.

Prérequis

Lois de Newton, composition galiléenne des vitesses.

Introduction

Au XVII^e siècle, Galilée énonce la relativité du mouvement, puis Newton écrit des lois identiques dans tous les référentiels galiléens. Einstein pose les bases de la relativité restreinte.

Principe de la relativité restreinte

Transformation de Galilée

\(\vec{v}_{/R} = \vec{v}_{/R'} + \vec{v}\), \(x' = x - vt\), \(y' = y\), \(z' = z\), \(t' = t\) : le temps est absolu, ce qui ne résiste pas à l'expérience.

Expériences de Michelson-Morley et de Sadeh (1963)

Annihilation \(e^+ + e^- \to 2\gamma\) d'un positon en mouvement : les deux photons, détectés à distance égale, arrivent en même temps. Les formules classiques ne donnent pas un résultat cohérent, ce qui valide la composition relativiste.

Postulats (1905)

1. Les lois de la physique ont la même formulation dans tous les référentiels galiléens.
2. La vitesse de la lumière \(c\) est indépendante de la source et la même dans tout référentiel galiléen.

Cinématique relativiste

Transformation de Lorentz

\(x' = \gamma(x - vt)\), \(y' = y\), \(z' = z\), \(t' = \gamma\left(t - \dfrac{vx}{c^2}\right)\) avec \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\) et \(\beta = v/c\). Transformation linéaire ; l'inverse s'obtient en changeant le signe de \(v\). Le temps devient relatif : un événement est repéré par quatre variables \((x, y, z, t)\), dans l'espace-temps.

Causalité

• Intervalle invariant : \(s^2 = x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2\), on vérifie \(s'^2 = s^2\).
• Cône de lumière : entre deux événements, \(\Delta s^2 > 0\) intervalle du genre espace, \(\Delta s^2 < 0\) genre temps, \(\Delta s^2 = 0\) genre lumière. Un événement du cône passé peut être la cause d'un événement placé à l'origine, et non l'inverse.

Loi de composition des vitesses

\(v_x = \dfrac{v'_x + v}{1 + v v'_x/c^2}\), \(v_y = \dfrac{v'_y}{\gamma\left(1 + v v'_x/c^2\right)}\).

Conséquences sur les mesures

Mesures de temps

• Dilatation du temps : horloge à photon (aller-retour sur un miroir) ; on obtient \(\delta t = \gamma\,\delta t'\) avec \(\gamma > 1\).
• Temps propre \(\delta t_0\) : durée entre deux événements ayant lieu au même endroit, \(\delta t = \gamma\,\delta t_0\) ; la durée propre est la plus courte.
• Désintégration des muons \(\mu^- \to e^- + \bar\nu_e + \nu_\mu\), loi \(N(t) = N_0 e^{-t/\tau}\). Expérience de 1963 avec deux détecteurs à des altitudes différentes : \(\tau_p = \tau/\gamma\), on trouve \(\gamma \approx 29\), soit \(v \approx 0{,}9994\,c\).

Mesures de longueurs

• Contraction des longueurs : en repérant les deux extrémités d'une règle au même instant dans \(R\), \(L' = \gamma L\), soit \(L = L'/\gamma < L'\).
• Longueur propre \(L_0\) : longueur mesurée dans le référentiel où l'objet est au repos ; c'est la plus grande.

Mesures de vitesse

• Rayonnement synchrotron : une source isotrope dans son référentiel propre émet, dans \(R\), dans un cône de demi-angle \(\cos\theta_{max} = \beta\) (environ 8° pour \(v = 0{,}99\,c\)).
• Effet Doppler longitudinal (explosion d'une étoile) : \(\nu_R = \dfrac{\nu_S}{\gamma(1 + \beta)}\), soit \(\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_S} \approx \beta\) pour \(v \ll c\) : décalage vers le rouge si la source s'éloigne, vers le bleu si elle s'approche. Une raie à 500 nm élargie de 1 nm donne \(v \approx 3\cdot10^5\) m/s.

Conclusion

Les principes de la cinématique relativiste et leurs conséquences sur les mesures expliquent de nombreux phénomènes.

Bibliographie

• Bertin, Faroux, Renault, Mécanique I (1984)
• Pérez, Relativité et quanta
• Hulin, Relativité restreinte
• BUP n°615 et n°624