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Leçon de physique n°9 (agrégation) :
Mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique indépendant du temps. Applications (1er cycle).

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger la leçon manuscrite (PDF, 9 pages).

Prérequis

Champ magnétique, mécanique relativiste. Étude dans un référentiel galiléen, en négligeant le poids.

Introduction

Accélérateurs, microscopes électroniques : le champ magnétique dévie et focalise les particules rapides.

La force de Lorentz

• Mise en évidence : un aimant approché d'un oscilloscope dévie la trace du spot.
• Expression : \(\vec{F} = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}\).
• Aspect énergétique : \(\mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} = 0 = \dfrac{dE_c}{dt}\) : la norme de la vitesse est constante, seule sa direction change.

Mouvement dans un champ magnétique uniforme

Équation différentielle du mouvement

\(\dfrac{d\vec{p}}{dt} = q\vec{v}\wedge\vec{B}\) avec \(\vec{p} = \gamma m\vec{v}\) (théorie relativiste, utile pour les accélérateurs), d'où \(\dfrac{d\vec{v}}{dt} = \omega_c\,\vec{v}\wedge\dfrac{\vec{B}}{B}\) avec la pulsation cyclotron \(\omega_c = \dfrac{qB}{\gamma m}\).

Équations paramétriques

Avec la variable complexe \(\zeta = x + iy\) : \(\dot\zeta = v_\perp e^{-i\omega_c t}\), d'où \(x = \dfrac{v_\perp}{\omega_c}\sin\omega_c t\), \(y = -\dfrac{v_\perp}{\omega_c}(1 - \cos\omega_c t)\), \(z = v_\parallel t\).

Trajectoires

• Cas général : projection circulaire de rayon \(R = \dfrac{v_\perp}{\omega_c} = \dfrac{p_\perp}{qB}\) et trajectoire hélicoïdale de pas \(\dfrac{2\pi p_\parallel}{qB}\). La rigidité magnétique \(BR = p_\perp/q\) est utilisée dans les chambres à bulles pour mesurer l'impulsion.
• Si \(\vec{v}_0 \perp \vec{B}\) : trajectoire circulaire ; le sens de rotation donne le signe de la charge.
• Expérience : faisceau d'électrons dans des bobines de Helmholtz ; cercle si \(\vec{B} \perp \vec{v}\), hélice sinon ; \(R\) diminue si \(B\) augmente et augmente avec la vitesse.

Applications

• Déflexion magnétique (tube cathodique de télévision) : \(R = \dfrac{m v_0}{eB}\) ; la déviation sur l'écran vaut \(y_I \approx \dfrac{\ell L e B}{m v_0}\). La déflexion électrique serait trop faible pour la télévision, mais convient à l'oscilloscope.
• Cyclotron (Lawrence, 1932) : particules accélérées entre les « dees » et déviées à l'intérieur ; \(\omega\) reste constant pendant que \(R\) augmente. Énergie maximale \(E_{c,max} = \dfrac{R^2 q^2 B^2}{2m}\) ; avec \(B = 2\) T, environ 48 MeV. Au-delà, il faut tenir compte de la relativité (synchrocyclotron).
• Spectrographe de masse : tri des particules selon leur masse et leur charge ; après accélération sous \(U\), \(\dfrac{q}{m} = \dfrac{2U}{B^2R^2}\) ; sépare les isotopes.

Mouvement dans un champ magnétique non uniforme

Principe de la bouteille magnétique

• Champ à symétrie cylindrique au voisinage de l'axe : \(\operatorname{div}\vec{B} = 0\) donne \(B_r = -\dfrac{r}{2}\dfrac{\partial B_z}{\partial z}\).
• La projection du PFD montre que \(v_\perp^2/B_z\) est constant : le flux de \(\vec{B}\) à travers la trajectoire est conservé, la particule s'enroule dans un tube de champ.
• Quand les lignes de champ se resserrent, \(v_\perp\) augmente et \(v_\parallel\) diminue jusqu'à s'annuler : la particule rebrousse chemin et reste piégée. Deux bobines de Helmholtz écartées produisent ce type de champ.

Les ceintures de Van Allen

Les particules chargées piégées par le champ terrestre font des allers-retours entre les pôles, où les lignes de champ se resserrent ; celles qui atteignent l'atmosphère l'ionisent et produisent les aurores polaires.

Confinement magnétique

Un plasma à très haute température (environ \(10^8\) K, fusion) ne peut être contenu par des parois : on le piège dans un tore magnétique.

Conclusion

Ouverture sur les phénomènes observés lorsque le champ magnétique dépend du temps.

Bibliographie

• Pérez, Relativité
• H-Prépa, Mécanique II
• Gauing, Magnétisme (exercices)
• Alonso, Finn, Physique générale II
• Polycopié de TP de l'agrégation de Rennes