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Montage de physique n°17 (agrégation) :
Induction, auto-induction.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger le montage manuscrit (PDF, 4 pages).

Introduction

L'induction est liée à la variation du flux d'un champ magnétique inducteur à travers un circuit induit, où apparaît une fem : champ statique et circuit mobile, ou champ variable et circuit fixe. L'auto-induction est le même phénomène quand l'inducteur est le champ créé par le circuit lui-même.

L'induction

Mise en évidence

Aimant et bobine reliée à l'oscilloscope (le courant induit est détecté par conversion en tension par sa résistance d'entrée). En rentrant la face nord dans la bobine, une tension positive apparaît : le déplacement de charges fait apparaître une face nord sur la face supérieure de la bobine : la fem s'oppose à la cause qui lui a donné naissance, ce qui justifie le signe moins de la loi de Lenz \(e = -d\Phi/dt\). Le signal dépend de la rapidité du mouvement et s'annule quand l'aimant est immobile dans la bobine : c'est bien la variation du flux qui compte.

Loi de Lenz-Faraday

• Pour deux bobines, \(e = -M\dfrac{di}{dt}\), M coefficient d'inductance mutuelle. Montage : GBF (200 Hz) alimentant la bobine B₁ en série avec R (voie X), bobine B₂ à l'intérieur (voie Y).
• Principe : un signal triangulaire \(I = \pm kt\) crée \(B_1 = \mu_0n_1I\) ; le flux à travers B₂, \(\Phi = N_2S_2B_1\), induit \(e = \mp\mu_0N_2S_2n_1k\) : une tension carrée de signe inversé.
• Manipulation : on mesure les amplitudes crête à crête de X et Y et la période : \(k = \dfrac{\Delta i}{\Delta t} = \dfrac{2\,cc(X)}{R\,T/2}\), \(e_{ind} = cc(Y)/2\) ; pour 100 Hz < f < 700 Hz, \(e_{ind} = f(\Delta i/\Delta t)\) est une droite de pente M, à comparer à \(M_{calc} = \mu_0N_2S_2n_1\).

Application : freinage par courants de Foucault

Conducteur mobile dans \(\vec{B}\) fixe (force \(q\vec{v}\wedge\vec{B}\)) ou immobile dans \(\vec{B}\) variable (\(\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = -\partial\vec{B}/\partial t\)). Pendule oscillant dans l'entrefer d'un électroaimant (alimentation de puissance, 2 A) : matériau plein, freinage rapide ; feuilleté, freinage plus lent (beaucoup de frottement à la potence, elle aussi aimantée : il faut un matériau doux feuilleté). Les courants induits soumettent le matériau à des forces de Laplace opposées au mouvement ; le freinage est d'autant plus efficace que la vitesse est grande, inopérant à faible vitesse. Autre application : chauffage par induction.

L'auto-induction

Mise en évidence

Pile de 5 V, interrupteur K avec condensateur en parallèle, bobine et néon. On compare la tension de départ à la tension de claquage théorique du néon et l'on enregistre le transitoire à l'ouverture de K avec une sonde atténuatrice, avec et sans noyau de fer doux. Avec le noyau, la brusque variation de courant à l'ouverture produit une forte fem (circuit ouvert), d'où une importante tension aux bornes du néon, supérieure à sa tension de claquage : étincelle d'allumage ; le néon redevient ensuite un simple condensateur, circuit RLC oscillant. Le condensateur en parallèle sur K évite l'étincelle de rupture, inconvénient de l'auto-induction (claquage du diélectrique quand le champ disruptif de l'air est dépassé) : la bobine s'oppose à l'ouverture du circuit.

Caractéristique d'une bobine

Pont Escort. Basse fréquence : facteur de dissipation \(D = \tan\delta = \dfrac{R_s}{L\omega}\), facteur de qualité \(Q = 1/D\), schéma équivalent R_s en série avec L : à 120 Hz, L = 99,5 mH et D = 0,433, d'où R_s ≈ 32,5 Ω ; à 1 kHz, D = 0,054, R_s ≈ 33,8 Ω (si f augmente, R augmente : on emmagasine plus d'énergie, mais les pertes par effet Joule sont plus grandes). Haute fréquence : \(Q = \dfrac{R_p}{L\omega}\), et une capacité parasite apparaît (enroulements de fils séparés par un diélectrique).

Énergie emmagasinée

On dissipe dans une résistance l'énergie \(\tfrac{1}{2}LI^2\) stockée par la bobine en régime permanent. Interrupteur fermé : on mesure I, \(E_{stockée} = \tfrac{1}{2}LI^2\) ; ouvert : on enregistre le transitoire, \(F_1 = Y_1Y_2\) et \(F_2 = \int F_1\,dt\) (avec \(Y = Ri\), \(F_2 = R^2\int i^2dt\)), en mesurant entre l'ouverture et le moment où F₂ est constante. L'énergie se dissipe dans la résistance et dans la propre résistance r de la bobine : \(E_{dissipée} = (R + r)\dfrac{F_2}{R^2}\).

Application

Allumage d'un néon (voir plus haut).

Conclusion

L'induction est très importante : elle conditionne le fonctionnement de nombreuses machines, surtout moteurs, alternateurs et transformateurs.

Remarques

• Moteur asynchrone : un champ tournant entraîne le rotor, bobinage fermé sur lui-même ; les courants induits s'opposent aux variations de flux, et le rotor tourne pour essayer d'atteindre la vitesse du champ, sans jamais l'atteindre (\(\omega_{moteur} < \omega_{champ}\)). Moteur synchrone : pas d'induction, le rotor est alimenté et tourne à la vitesse du champ (aimant soumis à un couple).
• RLC parallèle : circuit bouchon, impédance maximale à la résonance ; RLC série : impédance minimale. Plus le calibre d'un ampèremètre est grand, plus son impédance est grande.
• On peut stocker de l'énergie dans une bobine comme dans un condensateur, mais pas la conserver longtemps. Les compteurs EDF à disque fonctionnent grâce aux courants de Foucault.