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Montage de physique n°27 (agrégation) :
Filtrage.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger le montage manuscrit (PDF, 4 pages).

Introduction

Filtrer, c'est enlever une partie de quelque chose pour retenir ce qui nous intéresse : filtres électroniques des communications (radio, télévision), filtres optiques, filtres mécaniques (suppression de fréquences de résonance). On en donne quelques exemples.

Filtrage basse fréquence en électronique

Filtre passe-bas passif

GBF, résistance et condensateur : gain \(V_s/V_e\) et phase (décalage entre V_e et V_s) en fonction de la fréquence, mesurés à l'oscilloscope et reportés sous Excel. On trace \(G_{dB} = 20\log(V_s/V_e)\) en fonction de \(\log f\) et \(\varphi\) en fonction de f ; on en déduit la fréquence de coupure (le second graphique est plus simple, \(\varphi = -\pi/4\)) et on la compare à \(f_{c,th} = \dfrac{1}{2\pi RC}\).

Application

• Réalisation du signal à filtrer : modulation d'amplitude par un multiplieur (\(f_p = 200\) kHz, \(A_p = 10\) V ; \(f_m = 5\) kHz, \(A_m = 6\) V et offset 6 V), puis redressement monoalternance (diode, R_D) et suiveur. Pourquoi pas un montage à diode sans seuil ? Avec le montage simple, on coupe une partie du signal redressé (seuil 0,7 V) ; avec le montage sans seuil (seuil 0 V), on a toute l'alternance, sans intérêt, et c'est moins rapide.
• On veut récupérer \(f_m\) : FFT de V_s, amplitude de la raie à \(f_m\) et de la raie la plus forte \(f_p\), pour quantifier le filtrage. Deux cellules RC en cascade : en X (FFT, sans second filtre), \(f_m\) (A_m) n'est pas atténuée et \(\Delta A_p\) vaut environ −20 dB ; en branchant le second filtre, A_m est atténuée (charge représentée par le second filtre). En Y, même type de mesure, \(\Delta A_p\) d'environ −40 dB ; les raies peuvent être noyées dans le bruit, il faut augmenter la sensibilité.

Filtrage passe-bande en électronique

Présentation du filtre

Filtre sélectif très utilisé dans les émetteurs et récepteurs radio : filtre actif passe-bande accordable en fréquence et en facteur de qualité (AO, résistances R, R₁ et condensateurs C variables) : \(H(j\omega) = \dfrac{2}{1 + Q\left(\dfrac{j\omega}{\omega_0} + \dfrac{\omega_0}{j\omega}\right)}\), \(\omega_0 = 2\pi f_0 = \dfrac{1}{RC}\), \(Q = \dfrac{R_1}{R}\), gain à la résonance \(H_0 = 2\) : Q et \(f_0\) s'accordent indépendamment.

Manipulation

1. Vérification qualitative en traçant la caractéristique au GBF wobulé.
2. Vérification quantitative de \(f_0\) et Q au voltmètre, wobulation arrêtée (bande passante à \(V_m/\sqrt{2}\)) ; pentes en dB/décade avant et après \(f_0\), d'où l'ordre du filtre.

Qualité sélective et temps de réponse

• Manipulation introductive : plus le filtre est sélectif (Q élevé), plus il faut wobuler lentement pour obtenir une belle courbe de résonance : plus le régime permanent est long à s'établir, \(\tau = 2Q/\omega_0\).
• Réponse transitoire à un échelon de tension basse fréquence (signal carré) : une valeur critique de R₁ (donc de Q) marque le changement qualitatif du régime transitoire (R = 2R₁). Vérification avec un sinus à \(f_0\), en enregistrant le transitoire pour R₁ = 10 kΩ et 500 kΩ.

Filtrage en optique

Fréquences spatiales

La relation de transformée de Fourier entre la transparence t(x) d'un objet et l'amplitude de diffraction de Fraunhofer A(q) permet d'étudier le spectre des fréquences spatiales q de l'objet : la figure d'un réseau de 4 traits par mm montre la fréquence fondamentale (4 mm⁻¹) et de nombreux harmoniques (8 et 12 mm⁻¹...).

Filtrage optique des fréquences spatiales : expérience d'Abbe

Laser, objectif de microscope (élargisseur), lentille L₁, grille A, lentille L (plan de Fourier S'), écran (image A') : on observe en S' la figure de diffraction de A. En plaçant en S' un objet B (fente verticale), la figure est modifiée et l'image A' aussi : elle ne garde que les traits horizontaux, et inversement. Dans la transformée de Fourier de la grille, une croix, B supprime la branche horizontale : en A' ne subsistent que les traits dont la figure de diffraction est verticale, c'est-à-dire les traits horizontaux.

Conclusion

Le filtrage sélectionne la partie d'un signal qui nous intéresse ; les plus courants sont les filtrages électroniques (télécommunications) et optiques ; il existe en électronique de multiples méthodes pour éliminer une partie d'un signal.

Remarques

• Fréquence de coupure : avec la phase, c'est plus simple (pas de calcul) mais moins précis.
• Autre passe-bas passif, bobine et résistance : non utilisé car trop cher, et exige un fort courant. Pour des raisons mathématiques, tous les filtres déphasent.
• Bruit blanc : bruit étalé sur toutes les fréquences.