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Montage de physique n°3 (agrégation) :
Dynamique des fluides.
Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger le montage manuscrit (PDF, 4 pages).
Introduction
On étudie le comportement des fluides en mouvement, à l'intérieur de conduites ou autour d'obstacles.
Écoulement de fluide parfait : relation de Bernoulli
Effet Venturi
- Observation : soufflerie dans un tube de section variable muni de tubes manométriques : si la section diminue, la vitesse augmente et la pression diminue.
- Mesure de vitesse : par Bernoulli et la conservation du débit, \(v_A = \sqrt{\dfrac{2(P_A - P_B)}{\rho_{air}}\,\dfrac{1}{(S_A/S_B)^2 - 1}}\) ; par exemple \(\Delta P' = 142\) mm d'eau, soit \(\Delta P = \rho_{eau}g\Delta P' \approx 1\,400\) Pa. On compare avec un anémomètre à fil chaud.
Tube de Pitot
\(P_0 = P_{0'} + \tfrac{1}{2}\rho v^2\), d'où \(v = \sqrt{\dfrac{2\Delta P}{\rho_{air}}}\) avec \(\Delta P = \rho_{alc}g\,h_{vrai}\) (manomètre incliné à alcool) : \(h = \dfrac{\rho_{air}v^2}{2\rho_{alc}g}\), la courbe \(h = f(v^2)\) est une droite. La mesure de \(\ell\) et \(x\) donne l'inclinaison \(\alpha\), et \(h_{vrai} = h_{lu}\sin\alpha\) : manomètre plus sensible.
Écoulement de fluides visqueux : nombre de Reynolds
Mise en évidence des forces de viscosité
Écoulement le long d'un tube muni de tubes verticaux : la vitesse étant constante, la pression dynamique l'est aussi, les variations de pression statique mesurent celles de la pression totale ; la perte de charge est proportionnelle à la distance (droite).
Vérification de la loi de Stokes
Force sur une sphère \(F = 6\pi\eta rv\) ; une bille d'acier lâchée dans la glycérine atteint une vitesse limite où \(\tfrac{4}{3}\pi r^3(\rho_{bille} - \rho_{gly})g = 6\pi r\eta_{gly}v_{lim}\) : on mesure \(v_{lim}\) et on en déduit \(\eta_{gly}\).
Écoulement dans un tube fin
- Écoulement laminaire de Poiseuille : \(D_m = \dfrac{\pi R^4\Delta P}{8\eta L}\), avec \(\Delta P = \rho_{eau}gh\) ; pour plusieurs hauteurs, on mesure le débit \(D_m = m/t\) ; \(D_m = f(h)\) est une droite dont la pente donne \(\eta_{eau}\).
- Deux régimes : quand le nombre de Reynolds devient trop grand (débit ou section trop grands), régime turbulent ; la perte de charge linéique vérifie \(p = \dfrac{\Delta P}{L} = \dfrac{1}{2}\dfrac{\rho v^2}{d}f(Re)\), f à déterminer expérimentalement. Avec un tube plus gros, mesures de h, p, m, \(D_m\), v, puis \(\log f(Re) = g(\log Re)\) : deux droites de pentes environ −1/4 (turbulent) et −1 (laminaire) ; la transition dépend des conditions, mais si \(Re < Re_0\) le régime est toujours laminaire.
Régime turbulent : écoulement autour d'obstacles
- Résistance de l'air : force de traînée sur un disque face à la soufflerie, mesurée au dynamomètre (1 pond = 0,01 N) : \(F = C_x(Re)\dfrac{\rho Sv^2}{2}\), \(C_x\) constant en régime turbulent : la pente de \(F = f(v^2)\) donne \(C_x\).
- Résultante des forces de pression sur une aile d'avion : portance \(P = C_z\dfrac{\rho Sv^2}{2}\), traînée \(T = C_x\dfrac{\rho Sv^2}{2}\), finesse \(F = P/T = C_z/C_x = f(\alpha)\) ; mesures de P et T pour des incidences de −15° à +90°, davantage entre −15° et 20°.
Conclusion
Ces études sont importantes en aérodynamique, dans l'automobile ou l'aéronautique.
Remarques
- Tous les fluides sont-ils visqueux ? Un seul ne l'est pas : l'hélium superfluide (en réalité un mélange de deux fluides).
- Les mesures à l'anémomètre à fil chaud sont locales : la vitesse doit être uniforme ; il tient compte de la température de l'air.
- La perte de charge dépend aussi des défauts géométriques (obstacles, coudes...). La glycérine n'est pas un corps pur : elle absorbe l'eau, et sa viscosité augmente beaucoup si la température diminue de 1 ou 2 °C.
- Cause physique de la viscosité : le haut du liquide se déplace alors que le bas est immobile : force de cisaillement. Profil de vitesse dans un tube fin : parabolique en laminaire, trapézoïdal en turbulent.
- Lignes d'écoulement laminaire autour d'un obstacle circulaire : analogues aux lignes de champ d'un dipôle électrique dans un champ uniforme. À Re constant, \(C_x\) dépend de la forme de l'objet : plus il est faible, meilleure est la pénétration dans l'air.
