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Montage de physique n°33 (agrégation) :
Phénomènes de transport.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger le montage manuscrit (PDF, 4 pages).

Introduction

Différents types de transport : de chaleur, de charges et de matière, chacun avec différents mécanismes ; on montre qu'ils se regroupent dans l'expression de la loi qui les régit.

Transport de chaleur

Conduction : loi de Fourier \(\vec{j} = -\lambda\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T\)

• Régime permanent : barre de cuivre trouée entre un réchauffeur à 100 °C et un bain eau-glace à 0 °C ; \(\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,T = -dT/dx\) : en préparation, on mesure la température de tous les trous (thermocouple ou résistance de platine) ; T = f(x) est une droite, dont la pente est retrouvée en présentation avec les trous 1 et 8.
• Régime transitoire : on note T en fonction du temps pendant 4 à 5 minutes ; T = f(t) est une droite de pente dT/dt (enlever les deux premiers points, faux).
• λ du cuivre : \(\delta Q_{reçue} = mc_s\,dT\) et \(\Phi = jS = \dfrac{\delta Q}{\delta t}\), d'où \(j = \dfrac{mc}{S}\dfrac{\delta T}{\delta t}\) ; avec \(j = -\lambda\dfrac{\delta T}{\delta x}\), \(\lambda = \dfrac{mc_s\,\delta T/\delta t}{S\,\delta T/\delta x}\) ; inutile de calculer l'incertitude, la valeur des tables n'étant précise qu'à ±10 %.

Convection

Naturelle (différences de température donc de masse volumique) ou forcée (action mécanique extérieure). Tube en anneau rempli d'eau, chauffé en un coin, avec un cristal de KMnO₄ : on observe le déplacement de matière par la couleur, et le transport de chaleur par l'évolution de la température.

Rayonnement

Le globar, barreau de graphite (semi-conducteur), est une source infrarouge ; plus sa température augmente, plus l'énergie transportée est grande (en \(\sigma T^4\)), mesurée par un thermomètre à distance.

Transport de charges dans un semi-conducteur

Conductivité (loi d'Ohm \(\vec{j} = -\gamma\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V\))

Plaquette semi-conductrice alimentée sous 15 V avec régulation de courant : résistance par \(U_{AB'}\) et I (avec incertitudes), résistivité \(\rho = RS/\ell\) (Ω·cm), conductivité \(\gamma = 1/\rho\). L'incertitude permet de voir si l'on recoupe la valeur tabulée (ce ne sera pas le cas si le semi-conducteur a vieilli) ; \(\gamma_{SC}\) est environ \(10^9\) fois plus faible que celle d'un métal conducteur.

Mobilité

• Effet Hall dans le champ homogène d'un électroaimant : \(U_H = V_D - V_C = \dfrac{IB}{nqb}\) ; plus la concentration de porteurs est élevée, plus U_H est faible (métaux : \(10^{28}\) e⁻/m³ ; semi-conducteurs : \(10^{18}\) à \(10^{24}\)).
• Densité de porteurs : \(n = \dfrac{IB}{qbU_H}\) (environ \(9{,}7\cdot10^{20}\) m⁻³) ; nature des porteurs selon les conventions (U_H positive : trous) ; mobilité \(\gamma = nq\mu\), \(\mu = \dfrac{1}{\rho n|e|}\) (environ 0,29 m²/(V·s)).

Transport de matière

Diffusion (loi de Fick \(\vec{j} = -D\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,c\) ; Newton \(\vec{F} = \eta\,\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,v\))

Mélange 50/50 eau-glycérol diffusant dans l'eau (\(n_{eau} = 1{,}33\), \(n_{gly} = 1{,}47\)) : la diffusion donne un gradient de concentration donc d'indice. Laser, tige cylindrique (faisceau en nappe), cuve, écran à L = 50 cm : la nappe est déviée, \(\tan\alpha_{max} = h_{max}/L\) et \(\alpha_{max} = \dfrac{(n_g - n_e)d}{2\sqrt{\pi Dt}}\). Pendant une vingtaine de minutes, on mesure \(h_{max}\) toutes les 5 minutes : \(1/\alpha_{max}^2 = f(t)\) est une droite dont la pente donne D (environ \(10^{-10}\) m²/s pour le glycérol dans l'eau).

Convection forcée : écoulement de Poiseuille

Flacon à niveau constant (débit d'eau constant, h) relié à un tube fin de rayon R et longueur L : \(v_z(r) = \dfrac{\Delta P}{4\eta L}(R^2 - r^2)\) et \(D_m = \displaystyle\int_0^R\rho v_z\,dS = \dfrac{\pi R^4}{8\eta}\dfrac{\Delta P}{L}\). On mesure le débit massique \(D_m = m/t\) en recueillant l'eau, avec \(\Delta P/L = \rho gh/L\), d'où la viscosité dynamique de l'eau (environ \(9\cdot10^{-4}\) Pa·s). Valable si l'écoulement est laminaire : calculer \(Re = \rho vd/\eta\) (petit) ; η varie beaucoup avec la température, à préciser.

Conclusion

Les phénomènes de transport sont courants (radiateur qui chauffe une pièce, électricité, eau dans les canalisations) ; des grandeurs les caractérisent, et la plupart sont régis par la même forme de loi.

Remarques

• Conductivités thermiques : eau 0,6, air 0,03 W/(m·K), très bon isolant. La conduction électrique est assurée par les électrons, la conduction thermique par les phonons.
• Évolution de γ avec la température pour un semi-conducteur de type p : en chauffant, on crée facilement des paires électron-trou (gap faible), mais les électrons sont plus mobiles, et la conductivité évolue avec la mobilité des porteurs majoritaires.