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Montage de physique n°34 (agrégation) :
Phénomènes non linéaires.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger le montage manuscrit (PDF, 5 pages).

Introduction

Phénomènes linéaires : l'effet est proportionnel à sa cause, équations différentielles linéaires en les variables et leurs dérivées, principe de superposition. Phénomènes non linéaires : des termes d'interaction font que le système n'obéit plus au principe de superposition. Il est souvent question d'un seuil à partir duquel les approximations linéaires ne sont plus valables.

Existence d'un seuil

Composant non linéaire : la diode

GBF (1 000 Hz, signal 0-10 V), résistance R et diode ; on visualise I = f(U), Y mesuré à la sonde différentielle : la caractéristique n'est pas une droite, le composant est non linéaire ; on en déduit \(V_{seuil}\). La FFT de X montre un signal périodique non sinusoïdal (\(2f_0\), \(3f_0\)...).

Pendule pesant

Pendule oscillant devant une photodiode reliée à un compteur, sur dix demi-périodes, pour des angles de départ de 10 à 50° : on trace \(T = f(\theta)\) et \(T = f(\theta^2)\). Pour les petits angles, \(\sin\theta \approx \theta\) et \(T = T_0\) ; pour des angles plus grands, \(T = T_0\left(1 + \dfrac{\theta^2}{16}\right)\) : il existe un seuil au-delà duquel l'approximation \(\sin\theta \approx \theta\) est fausse. L'incertitude augmente avec \(\theta_0\).

Apparition de nouvelles fréquences

Non-linéarité de la diode pour créer un signal modulé en amplitude : sa sortie se développe en polynôme \(V_s = f(V_m + V_p) = a(V_m + V_p) + b(V_m + V_p)^2 + \dots\) ; en lui envoyant \(f_m + f_p\), on obtient \(f_m\), \(f_p\), \(2f_m\), \(2f_p\), \(f_p \pm f_m\)..., et un passe-bande sélectionne celles qui réalisent la modulation d'amplitude. Sommateur de V_p et V_m, diode D et résistance, suiveur, circuit LC. En A : addition des deux signaux ; en B : plus d'alternances négatives en temporel et nombreuses raies \(nf_m + qf_p\) en fréquentiel : la sortie n'est pas proportionnelle aux deux entrées, le circuit redresseur n'obéit pas au principe de superposition ; en C : en jouant sur le condensateur, on élimine les raies pour garder les deux pics latéraux autour de la porteuse, d'amplitudes similaires.

Phénomènes d'hystérésis

Présents dans certains systèmes : à une excitation donnée ne correspond plus une réponse univoque.

Comparateur à hystérésis

• Un AO peut fonctionner en régime linéaire (\(\varepsilon = 0\)) ou en commutation (\(\varepsilon \neq 0\)).
• Régime linéaire (rétroaction sur l'entrée −, sinus de 1 000 Hz, 6 V) : on mesure V_s, on calcule G et on compare à \(G = 1 + R_2/R_1\) ; les spectres d'entrée et de sortie doivent être identiques (\(V_s = kV_e\), \(f_s = f_e\)). En augmentant la fréquence (changement de calibre du GBF), le spectre de V_s présente des harmoniques : non-linéarité ; vers 20 kHz, le signal de sortie devient triangulaire et l'on mesure le slew rate de l'AO : là aussi un seuil, au-delà duquel le temps de réponse de l'AO introduit la non-linéarité.
• En commutation (rétroaction sur l'entrée +, sinus de 1 000 Hz, 10 V) : cycle en Lissajous de V_e et V_s ; on vérifie \(V_{bas+} = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}V_{sat+}\) et \(V_{bas-} = \dfrac{R_2}{R_1 + R_2}V_{sat-}\) ; on observe le parcours du cycle en abaissant la fréquence. Application : le multivibrateur. Pas de seuil : il y a toujours non-linéarité.

Aimantation d'un matériau ferromagnétique

• Précautions : désaimanter le matériau en le reliant au transformateur d'isolement et à l'autotransformateur et en réduisant progressivement le courant alternatif jusqu'à zéro ; annuler la tension d'offset de l'AO.
• Théorie : \(V_X = R_1I_1\) et \(\oint\vec{H}\cdot d\vec{\ell} = N_1I_1\) (I₂ négligé), d'où \(H = \dfrac{N_1I_1}{\ell}\) : V_X est proportionnelle à H ; \(V_2 = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -N_2S\dfrac{dB}{dt}\) et le courant V₂/R charge la capacité de l'intégrateur, d'où \(Y = \dfrac{N_2SB}{RC}\).
• Courbe de première aimantation : on évalue \(\mu_r\), \(\mu_m\) et \(\mu_0M_{sat}\) (\(B = \mu_0(H + M_{sat})\)). Cycle d'hystérésis (source remplacée par transformateur d'isolement et autotransformateur, intégrateur par un circuit RC) : B_sat, B_rem et H_c ; pertes par hystérésis \(P = S_{cycle}\times50\ \text{Hz}\times S\ell\) (aire du cycle en carreaux, volume du matériau).

Apparition du chaos

La non-linéarité est une condition essentielle d'un mouvement chaotique ; il faut aussi que le système ne soit pas intégrable. Aimant mobile entre deux bobines (champ statique et champ tournant) : (1) champ statique seul : différentes trajectoires selon l'énergie communiquée, oscillations autour du champ ou rotations complètes avec modulation de la vitesse ; (2) champ tournant seul : principe du moteur asynchrone, l'aimant finit toujours par accrocher le champ tournant ; (3) action simultanée des deux champs : mouvements chaotiques, la fréquence de rotation de l'aimant accrochant aléatoirement l'une ou l'autre des résonances.

Conclusion

Les phénomènes non linéaires apparaissent souvent dans un système linéaire au-delà d'un certain seuil ; ils compliquent les études théoriques (approximations non valables), mais donnent lieu à de nombreuses applications.

Remarques

• L'équation y = ax + b caractérise un système non linéaire : \(y(x_1 + x_2) \neq y(x_1) + y(x_2)\) ; inutile alors de définir une fonction de transfert.
• Non-linéarité de l'AO : même avec un système linéaire au départ (slew rate) ; en commutation, les pointes de courant font apparaître de nouvelles fréquences (nouveaux pics en FFT). La diode sans seuil est un composant non linéaire.
• Portrait de phase : pour un phénomène aléatoire, le désordre ; pour un phénomène chaotique, la compétition entre différents attracteurs, avec des points particuliers qui se retrouvent si l'on attend suffisamment longtemps.