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Montage de physique n°36 (agrégation) :
Ondes stationnaires.

Transcription des notes manuscrites de préparation à l'agrégation. Les schémas et le détail des calculs sont dans le document original : télécharger le montage manuscrit (PDF, 7 pages).

Introduction

Une onde dans un milieu fini se propage jusqu'à la frontière ; si le milieu est continu, l'onde incidente et l'onde réfléchie donnent une onde stationnaire de la forme \(f(t)\,g(x)\). Exemples : cavité laser, instruments de musique, bouche, oreille.

Mise en évidence et observation du phénomène

Ondes à la surface de l'eau

Cuve à ondes : sans obstacle, ondes planes progressives sinusoïdales (stroboscopie nécessaire) ; avec obstacle, ondes stationnaires. Définitions : période spatiale différente, interfrange λ pour l'onde progressive, λ/2 pour l'onde stationnaire. Onde progressive : même amplitude, phase différente ; onde stationnaire : amplitude différente, même phase.

Ondes stationnaires longitudinales le long d'un ressort

Ressort excité par un vibreur à 100 Hz et tenu par une pince en bois, observé au vidéoprojecteur : nœuds immobiles, points entre deux nœuds oscillant en phase, de part et d'autre d'un nœud en opposition de phase.

Ondes stationnaires résonantes

Ressort

Ondes stationnaires pour \(L = p\lambda/2\). Si l'onde est confinée dans l'espace, on n'observe les ondes stationnaires que pour certaines fréquences ; pour le ressort, cela ne vaut que si l'on bloque certaines spires : il y a alors résonance ; sinon, il y a des ondes stationnaires mais on ne les voit pas, faute de résonance (faible amplitude).

Corde de Melde

Résonateur à fréquences multiples : ondes stationnaires quand il y a accord entre L et f, \(L = p\lambda/2\), la corde se séparant en p fuseaux de longueur λ/2. Masse linéique : \(N = \dfrac{p}{2L}\sqrt{\dfrac{mg}{\mu}}\) (fréquencemètre, GBF, vibreur, masse de 200 g) ; sous Excel, N = f(1/L) pour p = 1, 2... a une pente \(\dfrac{p}{2}\sqrt{\dfrac{mg}{\mu}}\), d'où \(\mu_{exp} = \dfrac{p^2mg}{4(\text{pente})^2}\) (environ \(8{,}6\cdot10^{-5}\) et \(8{,}9\cdot10^{-5}\) kg/m), à comparer à \(\mu_{calc} = m/\ell\) (environ \(9{,}4\cdot10^{-5}\) kg/m).

Tuyau à hauteur variable : vitesse du son dans l'air

Tube en U à niveau d'eau réglable sous un HP : régime stationnaire efficace quand la hauteur d'air vérifie \(L_k = (k + \tfrac{1}{2})\dfrac{\lambda}{2}\) (résonance) ; L augmente de λ/2 entre deux maximums ou minimums. \(v_{air} = \lambda f\) (f ≈ 3 kHz), \(\dfrac{\Delta v}{v} = \dfrac{\Delta\lambda}{\lambda}\) ; sous Excel, λ_moy d'environ 11,55 cm, écart type, v_moy d'environ 347 m/s ± 13 (343 m/s tabulé). On peut remplacer l'oreille par un micro et un oscilloscope pour détecter les maximums ou minimums.

Ondes stationnaires sans résonance

Ondes ultrasonores dans l'eau : vitesse du son dans l'eau

Laser traversant une cuve d'eau où un quartz excite des ultrasons, écran à d' : ondes immobiles près de l'obstacle, où les amplitudes réfléchie et incidente sont égales (parfaites) ; plus loin, amplitudes différentes, onde quasi stationnaire. Entre deux franges, λ'/2 ; avec \(\ell = n\dfrac{\lambda'}{2}\) (18 interfranges sur 14,7 cm) et le grossissement \(G = d'/d \approx 20{,}5\), \(\lambda = \lambda'/G\) : \(v_{eau} = \lambda f = \dfrac{\lambda'}{20{,}5}f\) (f ≈ 2,013 MHz), environ 1 594 m/s ; incertitude \(\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda} = \dfrac{\Delta\lambda'}{\lambda'} + \dfrac{\Delta G}{G}\) ; tables : \(v = 1\,488 - 2{,}4(T - 25) \approx 1\,505\) m/s à 21,8 °C, erreur relative environ 6 %. Pour que le quartz vibre, il faut un accrochage entre l'oscillateur et le quartz ; si λ est très petite devant les dimensions du milieu, la résonance n'est pas nécessaire pour observer les ondes stationnaires.

Ondes partiellement stationnaires

• Rapport d'ondes stationnaires dans un guide d'onde ouvert : \(ROS = \sqrt{V_{max}/V_{min}}\) (23 mV et 9,5 mV, ROS ≈ 1,55) ; coefficient de réflexion en énergie \(\left(\dfrac{ROS - 1}{ROS + 1}\right)^2\) (environ 4,6 %) et en amplitude \(\dfrac{ROS - 1}{ROS + 1}\) (environ 21 %). Pour ROS < 3, on considère que le détecteur a une réponse quadratique.
• Guide en court-circuit : ROS élevé (ROS > 3), autre méthode, l'atténuateur étalonné : on se place sur un minimum et l'on atténue jusqu'à un signal mesurable (G₁ = 2 dB), puis sur un maximum en cherchant à retrouver le signal du minimum (G₂ = 12,5 dB) : \(ROS = 10^{(G_2 - G_1)/20} \approx 3{,}35\), coefficient d'environ 29 %.

Ondes stationnaires dans un milieu à structure discontinue

Cordes plombées.

Conclusion

Les ondes stationnaires sont universelles, dans tous les domaines ; elles ne sont pas toujours parfaites, d'où la mesure du ROS.

Remarques

• Propagation limitée : unidimensionnelle ; illimitée : tridimensionnelle. Mousse sur le côté de la cuve à ondes pour annihiler les ondes réfléchies.
• Ondes stationnaires résonantes : la résonance est une condition pour qu'on les voie ; si le milieu n'est pas accordé, il y a quand même des ondes stationnaires, invisibles. Pour la cuve à quartz, le phénomène ne change pas avec la dimension de la cuve : pas besoin d'accord. Avec 200 fuseaux sur la corde, on se moque de ce qui se passe au bout : plus besoin de résonance pour les observer.
• À la résonance, ROS tend vers l'infini et le coefficient de réflexion vers 1 ; \(ROS = \sqrt{A_{max}/A_{min}}\).