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Cours de physique-chimie tous niveaux

Vous êtes sur la page : Licence 1 > Electromagnétisme 1 > TD3 : dipôle électrostatique


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TD EM3 : Dipôle électrostatique

Exercice 1 : moment dipolaire de la molécule d’eau

De par l’électronégativité des atomes constituants la molécule d’eau, on peut modéliser celle-ci par un atome d’oxygène portant la charge \(-2\delta\) relié à deux atomes d’hydrogène portant chacun la charge \(+\delta\). \(\delta\) vaut 33% de la charge élémentaire ; l’angle entre les deux liaisons O-H est noté \(\alpha\) ; la distance entre un atome d’oxygène et un atome d’hydrogène est notée d.
Faire un schéma.
Déterminer l’expression (vectorielle) du moment dipolaire de la molécule d’eau et calculer sa valeur, en \(C.m\) et en D.

Données

Charge élémentaire : \(e=1.60\times10^{-19}\) C
Distance O-H : \( d = 0.952 \overset{\circ}{A} \quad ; \quad 1\overset{\circ}{A}=10^{-10} m\)
Angle \(\alpha\) : \( \alpha =104º 45' \quad ; \quad 1' = 1/60^{ième} \text{ de degré}\)

Exercice 2 : une charge et un cerceau

Soit un cerceau de centre O, de rayon \(R\), portant la densité linéique de charge \(\lambda\). On place une charge \(-q\)en un point A à une distance \(d\) du centre du cerceau. On définit un axe Oz d’origine O, centre du cerceau, et dirigé dans le sens de \(\overrightarrow{OA}\). Le point M au niveau duquel nous allons calculer le potentiel est situé sur cet axe.
Enfin, on sait que la distance \(d\) est du même ordre de grandeur que le rayon \(R\) du cerceau et que l’origine des potentiels est pris à l’infini.

  1. Faire un schéma de la situation.

  2. Quelle doit être la densité linéique de charge \(\lambda\) pour que la charge totale portée par le cerceau soit égale à +q ?

  3. Calculer le potentiel créé par l’ensemble du cerceau et de la charge, en tout point M de l’axe Oz.

  4. Montrer que lorsque le point M est suffisamment éloigné de l’ensemble chargé (des quantités tendent vers 0, des développements limités peuvent être utilisés), on peut assimiler l’ensemble du cerceau et de la charge à un dipôle électrostatique de moment dipolaire \(\overrightarrow{p}\).
    Exprimer ce moment en fonction de R, q et d.

    Données

    • Champ électrique créé par un cerceau centré sur un axe Oz : \(\overrightarrow{E}(M) = \dfrac{\lambda R z}{2\epsilon_0(\sqrt{R^2+z^2})^3} \overrightarrow{u_z}\)
    • Expression du gradient en coordonnées cylindriques :

      \begin{equation}\overrightarrow{\nabla}f = \overrightarrow{grad}\,f = \dfrac{\partial{f}}{\partial{r}}\overrightarrow{u_r} + \dfrac{1}{r}\dfrac{\partial{f}}{\partial{\theta}}\overrightarrow{u_{\theta}} + \dfrac{\partial{f}}{\partial{z}}\overrightarrow{u_z} \nonumber \label{grad-coord-cylind}\end{equation}

    • Potentiel créé par un dipôle électrostatique centré en O, en un point M :

      \begin{equation}V(M) = \dfrac{\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{r}}{4\pi\epsilon_0\,r^3} \nonumber\end{equation}

Exercice 3 : un dipôle, un champ et des équipotentielles

Soit un dipôle électrostatique de moment dipolaire \(\overrightarrow{p} = q \overrightarrow{NP} = q\,NP\,\overrightarrow{u_x}\) dirigé suivant l’axe Ox et centré sur le point O, origine du repère.
Ce dipôle est plongé dans un champ électrique \(\overrightarrow{E}=E_0\overrightarrow{u_x}\) où \(E_0\) est une constante.

  1. Rappeler l’expression du potentiel créé en un point M par le dipôle électrostatique.

  2. Trouver l’expression du potentiel, en coordonnées cartésiennes, créé en un point M par le champ \(\overrightarrow{E}\). On sait que ce potentiel est nul au point O.

  3. En déduire l’expression du potentiel total créé en un point M par le dipôle et le champ extérieur. On l’exprimera en fonction des coordonnées polaires.

  4. Identifier les équipotentielles correspondant à V = 0.

  5. Sachant que le problème est invariant par rotation autour de l’axe Ox, identifier les surfaces équipotentielles dans l’espace à 3 dimensions.

Exercice 4 : force de Keesom

La force de Keesom est une force de Van der Waals entre molécules polaires. Ces molécules sont assimilables à deux dipôles électrostatiques identiques (permanents) \(\overrightarrow{p_1}\) et \(\overrightarrow{p_2}\), dirigés tous deux suivant l’axe Ox, qui interagissent entre eux.
La force de Keesom est attractive : par exemple, le dipôle \(\overrightarrow{p_1}\) créé un champ électrique au niveau du dipôle \(\overrightarrow{p_2}\) qui tend à s’aligner sur ce champ. Il y a ensuite déplacement de \(\overrightarrow{p_2}\) vers les champs forts, c’est à dire vers \(\overrightarrow{p_1}\).
On peut faire le même raisonnement dans l’autre sens, mais pour raisonner ici, on considère \(\overrightarrow{p_1}\) fixe.

  1. Les dipôles sont colinéaires et orientés dans le même sens. Compléter le schéma ci-dessous en indiquant :

    • Le champ \(\overrightarrow{E_1}\) créé par le dipôle 1 au niveau du dipôle 2, sachant que l’on ne considère pas celui-ci uniforme sur la taille du dipôle.

    • Les forces de Coulomb qui s’exercent sur les charges \(-q\) et \(+q\) du dipôle 2 du fait de l’existence du champ \(\overrightarrow{E_1}\).

    Conclure quant au rapprochement du dipôle 2 vers le dipôle 1.

image

Deux dipôles en interaction

  1. Trouver l’expression de la force qu’exerce le dipôle 1 sur le dipôle 2 (calculer la force qui s’exerce sur chaque charge du dipôle puis la résultante). On considèrera que la distance \(r\) entre les deux dipôles (entre leur centre) est grande devant la taille \(d\) des dipôles.

    Données
    On rappelle l’expression du champ électrostatique créé par un dipôle : \(\overrightarrow{E} = \dfrac{2p \cos\theta}{4\pi\epsilon_0\,r^3}\overrightarrow{u_r} + \dfrac{p \sin \theta}{4\pi\epsilon_0\,r^3} \overrightarrow{u_{\theta}}\).

Exercice 5 : équilibre d’un dipôle au centre d’un condensateur

Soit un condensateur plan dont les armatures sont perpendiculaires à un axe Ox horizontal. L’armature négative porte la densité de charge -\(\sigma\) et coupe l’axe Ox à l’abscisse x = -a, l’armature positive porte la charge \(+\sigma\) et coupe l’axe Ox à l’abscisse x = a.
Le champ électrique au sein d’un condensateur de ce type a pour expression :

\begin{equation}\overrightarrow{E} = -\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\overrightarrow{e_x}\end{equation}

On place un dipôle électrostatique de moment dipolaire \(\overrightarrow{p}\) au centre de ce condensateur tel que \(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{u_x} = p \cos \alpha\).

  1. Donner l’expression de l’énergie potentielle de ce dipôle.

  2. Trouvez ses positions d’équilibre.

  3. Pourquoi ne se déplace-t-il pas dans le condensateur ?