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théorème de l'énergie cinétique

Nous allons aborder ici le théorème de l'énergie cinétique, un des théorèmes de mécanique le plus utilisé.

Energie cinétique

Tout d'abord commençons par définir la notion d'énergie cinétique : cette énergie est l'énergie que possède un corps massique du fait de son mouvement. Mathématiquement on va écrire $$E_C = \dfrac{1}{2}\,m\,v^2$$ On a donc ici une énergie en joule (J), ne masse qui va s'exprimer en kilogramme (kg) et une vitesse qui va s'exprimer en mètre par seconde (m.s^{-1}). Ainsi les joules vont être équivalents à des kilogrammes par mètre carré par seconde moins deux : $J \Longleftrightarrow \mathrm{m.s^{-2}}$.

On notera qui étant donné que la vitesse dépend du référentiel l'énergie cinétique dépend de celui-ci également.

Travail d'une force

Comme nous allons le voir quand nous allons énoncer le théorème de l'énergie cinétique, l'énergie cinétique d'un corps va être augmentée ou diminuée grâce au travail des forces qui s'exercent sur le système.

Le travail d'une force est proportionnelle à la force et à son déplacement :

Imaginons le déplacement d'un point M d'un point A à un point B et considérons que le point M est soumis à une force constante. Cette force est donc identique pendant tout le déplacement de A à B on va la noter F.

Le travail d'une force s'écrit: $$W_{AB}(\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos\,\alpha$$ La force F qui va être exprimée en Newton (N), la distance entre A et B va être exprimée en mètre (m) et bien sûr le cosinus n'a pas d'unité. Le travail lui s'exprime en joule (J) puisqu'il y est relié directement à l'énergie cinétique. On a donc ici: $\mathrm{J} \Longleftrightarrow \mathrm{N.m}$.

Selon l'angle que va faire la force F avec le vecteur AB on va rencontrer trois types de force:

• Si on a affaire à une force qui est dans le sens du déplacement, c'est à dire que l'angle alpha est compris entre 0 et $\dfrac{\pi}{2}$, la force est motrice, son travail est positif
• On pourra rencontrer aussi une force qui sera perpendiculaire au déplacement dans ce cas l'angle fait $\dfrac{\pi}{2}$, or le cosinus de $\dfrac{\pi}{2}$ ets nul et le travail de la force sera nul
• Enfin le dernier cas sera une force F pour lequel l'angle sera supérieur à $\dfrac{\pi}{2}$ dans ce cas la force sera qualifiée de résistante et son travail sera négatif

On peut dire un dernier mot sur le travail d'une force constante : on voit que le travail de cette force constante est indépendante du chemin suivi entre A et B puisque ce chemin n'intervient pas dans le calcul du travail. En effet nous n'avons besoin que de connaître les points de départ et d'arrivée du point M au niveau de son déplacement.

Travail du poids

Lorsque l'on traite un problème de mécanique une des forces incontournable que l'on doit considérer est le poids du système.
Intéressons nous ici au calcul du travail du poids sachant que selon le sens du déplacement celui-ci peut être soit moteur soit résistant. On va donc considérer la situation suivante :

Dans un repère oxy nous allons voir un point M qui se déplace d'un point A à un point B quel que soit le chemin suivi par ce point M le travail du poids sera le même puisque le poids est une force constante donc dans un champ de pesanteur uniforme cette force poids est dirigée verticalement vers le bas

Nous allons calculer le travail du poids sur le chemin AB comme nous l'avons dit précédemment nous écrivons : $$W_{AB}(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{AB}$$

L'astuce pour calculer ce travail c'est d'utiliser la relation de Chasles, on va pouvoir utiliser un point H de façon à ce que H soit le projeté orthogonal de A sur la verticale et le projeté orthogonal de B sur l'horizontal. Alors: $$W_{AB}(\overrightarrow{P}) = \overrightarrow{P}\cdot (\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}) = \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{AH} + \overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{HB}$$ Nous voyons tout de suite que le produit scalaire de P et de HB va être nul puisque les deux vecteurs sont orthogonaux, il reste uniquement $\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont de vecteurs colinéaires de même sens donc finalement $$W_{AB}(\overrightarrow{P}) = P \times AH$$

Nous pouvons maintenant introduire les coordonnées verticales du point A et du point B identique à celle du point H, ici nous avons $y_H=y_B$ alors le travail va s'écrire : $$W_{AB}(\overrightarrow{P}) = m\,g\,(y_B-y_A) = m\,g\,h$$ si on décide de noter $h$ la hauteur de déplacement.

Ce travail est positif ici le poids est une force motrice qui a aidée au déplacement vers le bas du point M. S'il n'y a pas d'autre force qui s'exerce sur le système le point M a gagné de l'énergie cinétique.

Si nous avions calculé le travail entre B et A de la force poids nous aurions eu exactement le même calcul mais cette fois-ci avec un signe moins et le travail du poids sur la montée entre B et A aurait été résistant, le point M aurait perdu de l'énergie cinétique si le poids était la seule force exercée sur le système.

Travail de la réaction du support, travail d'une force de frottements

Deux autres forces classiques de la mécanique sont la réaction normale du support et une force de frottements, qu'elle représente des frottements fluides ou solides.

Nous avons représenté une situation avec un plan incliné de A à B on imagine un solide qui va se déplacer de A vers B nous avons fait un bilan des forces classiques avec un poids vertical vers le bas une réaction du support ici une réaction normale c'est-à-dire perpendiculaire au support et puis une force de frottement donc ici on a représenté une force $f$.

• Pour ce qui est de la réaction normale au support on voit tout de suite que $$W_{AB}(\overrightarrow{R}) = \overrightarrow{R} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$ car le produit scalaire fait intervenir deux vecteurs qui sont orthogonaux. Ainsi la réaction du support ne travaille pas sur le trajet AB.
• Pour ce qui est de la force de frottement, par définition ces frottements sont opposés au déplacement donc les frottements sont vers l'arrière si le solide se déplace de A à B. Ainsi le travail de A à B de $\overrightarrow{f}$ va être nécessairement négatif puisque la force $\overrightarrow{f}$ est colinéaire mais de sens contraire au vecteur $\overrightarrow{AB}$ : on dit donc que les forces de frottement sont résistantes.

Théorème de l'énergie cinétique

Il est temps d'énoncer le théorème de l'énergie cinétique : $$\Delta E_C = E_{CB} - E_{CA} = \sum W_{AB}(\overrightarrow{F_{\mathrm{ext}}})$$ La variation d'énergie cinétique c'est à dire la différence d'énergie cinétique entre un point B et un point A est égal à la somme des travaux entre A et B des forces extérieures qui s'exercent sur le système.
Comme nous l'avons dit précédemment toutes ces grandeurs s'expriment en joule puisque c'est l'unité d'énergie.

Remarque :
On peut préciser quelque chose d'important qui est que ce théorème ne peut s'appliquer qu'en référentiel galiléen on verra cette notion un petit peu plus tard.

Application

Pour comprendre l'application de ce théorème on va pouvoir utiliser la situation que l'on a vu précédemment c'est-à-dire un objet qui va se déplacer d'un point A à un point B sur un plan incliné.

• On prendra $\alpha = 30\,^\circ$
• $h = 100\,\mathrm{m}$
• $v(t=0) = v_A = 0$
• $m=80\,\mathrm{kg}$
• $f = 100\,\mathrm{N}$

La question que l'on se pose c'est quelle est la vitesse en B à la fin du plan incliné.

Posons nos bases de mécanique :

• on va travailler sur le système "solide M" représenté par son centre de gravité.
• On va travailler dans un référentiel donc galiléen, il faudra le définir précisément mais nous verrons ça plus tard
• Ensuite on fait un bilan des forces, elles sont dessinées sur le schéma : nous avons $\overrightarrow{P}$ le poids, $\overrightarrow{R}$ la réaction normale au support et $\overrightarrow{f}$ la force de frottement.

Une fois les bases posées nous allons appliquer notre théorème de l'énergie cinétique, on va donc écrire $$\dfrac{1}{2}\,m\,v_B^2 - \dfrac{1}{2}\,m\,v_A^2 = \sum W_{AB}(\overrightarrow{F}_\mathrm{ext}) = W_{AB}(\overrightarrow{P}) + W_{AB}(\overrightarrow{f}) + W_{AB}(\overrightarrow{R})$$ L'énergie cinétique au point d'arrivée moins l'énergie cinétique au point de départ est êgal à la somme des travaux des forces extérieures. On va pouvoir utiliser nos hypothèses de départ c'est à dire que la vitesse initiale est nulle donc l'énergie cinétique en A va être égale à 0 et la réaction normale au support a un travail qui est nul.

Ainsi : \begin{align} \dfrac{1}{2}\,m\,v_B^2 &= W_{AB}(\overrightarrow{P}) + W_{AB}(\overrightarrow{f}) \\ &= m\,g\,h - AB \times f \end{align} Or on a $\sin\,\alpha = \dfrac{h}{AB} \Longrightarrow AB = \dfrac{h}{\sin\,\alpha}$.
Finalement : \begin{align} v_B^2 &= \dfrac{m\,g\,h}{1/2\,m} - \dfrac{h\,AB}{1/2\,m\,\sin\,\alpha} \\ &= 2\,g\,h - \dfrac{2\,h\,AB}{m\,\sin\,\alpha} \end{align} Enfin : $$v_B = \sqrt{2\,g\,h - \dfrac{2\,h\,f}{m\,\sin\,\alpha}} = 38{,}7\,\mathrm{m.s^{-1}}$$

Ce théorème de l'énergie cinétique est très utile pour connaître la vitesse en un point lors d'un mouvement, si on n'a pas besoin de connaître exactement le mouvement du point M entre les points A et B mais uniquement la vitesse en B, c'est un théorème qu'il faut savoir utiliser.